Инфо-космо-логия
АрхивВзгляд на информацию как на первооснову нашего мира порождает и новый взгляд на интересные вопросы. Сколько информации требуется для того, чтобы описать всю вселенную целиком? И можно ли уместить это описание в память компьютера?
"Энтропия… Я тоже знал, что это такое. Но забыл. Хотя в наше время такого понятия не было." - Военно-математический фольклор:
"Информация: степень непредсказуемости сообщения; грубо говоря, информация — это то, что вы не ожидаете услышать. Информация в этом смысле может быть «истинной» или «ложной», но всегда непредсказуемой. По степени сопротивления новой информации судят о степени фундаментализма в культуре, субкультуре или отдельном человеке..." - Роберт А. Уилсон. «Новая инквизиция»
Всё — это информация
Физикам свойственно чувство юмора. Вот, к примеру, как выглядит оценка крайне некомфортной ситуации в физической науке, когда две основополагающие теории XX века — квантовая теория, описывающая микромир элементарных частиц, и общая теория относительности (ОТО), описывающая макромир звезд и планет в терминах гравитационного искривления пространства-времени, — на протяжении всего столетия так и остались несогласованными, взаимно исключающими взглядами на природу. Как говорится в одной старой шутке, всякий приличный физик по понедельникам, средам и пятницам является сторонником квантовой теории, по вторникам, четвергам и субботам — сторонником ОТО. А по воскресеньям он просто кающийся грешник, истово молящий у всевышнего ниспослать хоть кому-то (лучше всего, конечно, именно ему) так нужный ключ к «теории всего», то есть красивый и непротиворечивый способ объединения нестыкующихся картин мира.
Многим интуитивно понятно, что чересчур затянувшийся кризис — это признак какого-то очень важного упущения, чего-то принципиально недопонятого нами в природе вселенной.
Все больше теоретиков считают, что ключевой идеей, ведущей к «великому объединению» гравитации и квантовой теории, может стать переформулирование взглядов на природу не в терминах материи и энергии, а в терминах информации.
Одним из первых об этом заговорил патриарх американский физики, великий Джон Арчибальд Уилер (подаривший миру, среди прочего, любопытный термин «черная дыра»). Вот как он пишет о роли информации в своей автобиографии [John Archibald Wheeler, «Geons, Black Holes & Quantum Foam: A Life in Physics». New York, W.W. Norton & Company, 1998, pp. 63-64], опубликованной несколько лет назад:
Моя жизнь в физике представляется мне разделенной на три периода. В первый из них, растянувшийся с начала моей карьеры и до начала 1950-х годов, я был захвачен идеей, что «Всё — это частицы». Я искал способы выстроить все базовые элементы материи (нейтроны, протоны, мезоны и т. д.) из самых легких, наиболее фундаментальных частиц — электронов и фотонов.
Второй период я называю «Всё — это поля». С тех пор как я влюбился в общую теорию относительности и гравитацию в 1952 году и вплоть до недавнего времени я придерживался взгляда на мир, как на состоящий из полей. Мир, в котором то, что представляется нам частицами, — это в действительности проявления электрических и магнитных полей, гравитационных полей и самого пространства-времени.
Теперь же я захвачен новой идеей: «Всё — это информация». Чем больше я размышляю о квантовых тайнах и о нашей странной способности постигать тот мир, в котором мы живем, тем больше вижу фундаментальное, вероятно, значение логики и информации как основы физической теории.
Взгляд Уилера на информацию как на первооснову нашего мира порождает и новый взгляд на интересные вопросы. Например, как много информации требуется для того, чтобы описать всю вселенную целиком? И можно ли уместить это описание в память компьютера? И какова, вообще говоря, предельная информационная емкость устройства, которое весит, скажем, около грамма и вмещается в один кубический сантиметр (иными словами, размером примерно с компьютерный чип)?
Истина в дыре
Довольно необычным и даже странным может показаться место, в котором теоретическая физика отыскала ответы на некоторые из этих и им подобных вопросов. Изучая загадочные свойства черных дыр, ученые вывели абсолютные пределы того, как много информации может содержаться в некоторой области пространства или же в некотором количестве материи и энергии. И сегодня уже достаточно отчетливо видно, что исследование черных дыр и, в частности, их энтропии (см. врезку) способно дать ученым очень важные ключи к созданию окончательной теории реальности.
Почему энтропия черной дыры так интересна? Главным образом потому, что она оказалась очень удобным тестовым полигоном для нашего понимания квантовой гравитации. (А подавляющее большинство физиков сегодня уверены, что для сведения воедино квантовой теории поля и общей теории относительности надо создать теорию квантовой гравитации.)
Черные дыры — прямое следствие ОТО, геометрической теории тяготения, сформулированной Эйнштейном к 1915 году. Согласно этой теории, гравитация возникает из-за искривления пространства-времени, что вынуждает объекты двигаться так, будто их влечет некая сила. Искривление же, в свою очередь, вызвано присутствием материи и энергии. По уравнениям Эйнштейна, достаточно высокая концентрация материи или энергии искривляет пространство-время так сильно, что оно разрывается, порождая черную дыру.
В рамках классического (неквантового) описания физики любой объект, падающий в черную дыру, в некотором смысле можно считать навсегда утраченным. Совокупность точек невозвращения именуется горизонтом событий. В простейшем случае он представляет собой сферу, поверхность которой тем больше, чем массивнее черная дыра. Горизонт событий принципиально важен потому, что как только любой объект минует его, то ни сам объект, ни свет, излучаемый им, ни данные о его энтропии уже никогда и никак не вернуть. Но такое заключение приводит к парадоксу относительно второго начала термодинамики, а это очень серьезно, потому что второе начало принято чтить как физический закон, имеющий наиболее фундаментальное значение вне собственно науки физики.
Второе начало термодинамики обобщает хорошо знакомые нам по жизни наблюдения, согласно которым большинство процессов в природе являются необратимыми: чашка падает со стола и разбивается, но никто никогда не видел, чтобы осколки сами прыгали на прежние места и собирались в целую чашку. Второй закон термодинамики запрещает такие обратимые процессы. Он утверждает, что энтропия изолированной физической системы не может уменьшаться. Этот закон является центральным для физической химии, множества прикладных наук и основанных на них технологий. Но еще Джон Уилер впервые отметил, что когда материя исчезает в черной дыре, то получается, что ее энтропия, по сути, исчезает навсегда, а значит, второй закон термодинамики оказывается фактически преодоленным, становится несущественным.
Наглядно проиллюстрировать эту идею можно метафорой рабочего стола, беспорядок и слой пыли на поверхности которого день ото дня растут. Уборка (стирание пыли, укладывание бумаг в аккуратные стопки и т. д.) может сократить энтропию, однако в процессе уборки человек пачкается, потеет, вдыхает пыль, то есть увеличивает свою собственную энтропию. Так что с неубыванием энтропии здесь все в порядке. Но вот если отправить стол в черную дыру, то второй закон вроде бы можно обмануть. Черная дыра, правда, станет более массивной, однако никто уже не сможет сказать, затолкнули туда чистый стол или же захламленный. То есть его энтропия в некотором смысле «исчезает», тем самым уменьшая общую энтропию вселенной...
1970-е: первые ключи
Решение этой загадки забрезжило на рубеже 1960–70-х годов. В 1969 году Роджер Пенроуз (Roger Penrose) показал, что в принципе имеется возможность выделять энергию из вращающейся черной дыры. Его работа породила целую волну мысленных экспериментов и теорем, посвященных черным дырам и термодинамике. И уже в 1970 году Деметриус Христодулу (Demetrious Christodoulou), в ту пору аспирант Уилера в Принстоне, и Стивен Хокинг в Кембридже независимо друг от друга доказали, что в ходе таких процессов, как, например, слияние черных дыр, суммарная площадь горизонта событий никогда не уменьшается. Были установлены верхние пределы для того, сколько энергии можно извлечь из вращающейся черной дыры, сколько энергии может быть высвобождено при столкновении черных дыр и т. д. Но самое любопытное, что между физикой черных дыр и термодинамикой удалось установить целый ряд глубоких соответствий, начиная с того, что площадь черной дыры играет роль энтропии!
Аналогия между растущей площадью дыры и тенденцией энтропии неуклонно возрастать подтолкнула в 1972 году другого аспиранта Уилера, Якоба Бекенштайна (Jacob Bekenstein, Израиль), к тому, чтобы высказать необычное предположение: черная дыра имеет энтропию, пропорциональную площади ее горизонта. Бекенштайн предположил, что когда материя падает в черную дыру, то возрастание энтропии черной дыры всегда компенсирует или даже компенсирует с избытком ту самую «потерянную» энтропию захваченной в дыру материи. Выражая эту идею в более общих терминах, стали говорить, что сумма энтропии черной дыры и обычной энтропии вне черных дыр не может уменьшаться, а само утверждение получило название обобщенного второго закона или ОВЗ (по-английски GSL, от generalized second law). Впоследствии ОВЗ не раз подвергали строжайшим тестам — хотя и чисто теоретическим, — многократно подтвердившим справедливость нового закона.
В 1974 году Хокинг показал, что из-за процессов квантовой природы черная дыра спонтанно испускает тепловое излучение. Это явление (ныне известное как «излучение Хокинга») позволило ученому определить константу пропорциональности между энтропией черной дыры и площадью горизонта. Оказалось, что энтропия черной дыры равна четверти от площади горизонта событий, измеренной в планковских площадях. (Несколько слов о том, что такое «планковские масштабы». Планковская длина, равная примерно 10–33 см, — это фундаментальный масштаб длины, на котором силы гравитации и квантовой механики становятся сопоставимы по величине. Планковская площадь — это квадрат планковской длины, то есть 10–66 кв. см.) Понятно, что измерения в столь малых единицах дают воистину гигантское количество энтропии. Получается, что энтропия черной дыры площадью всего 1 кв. см должна быть примерно 1066 бит. Грубо говоря, это эквивалентно термодинамической энтропии куба воды с ребром порядка 10 млрд. км.
1980-е: дискретность вселенной
Открытие обобщенного второго закона термодинамики позволило Якобу Бекенштайну установить границу информационной емкости для любой изолированной физической системы, то есть тот предел, который относится к информации на всех уровнях структуры реальности вплоть до самого нижнего «уровня Х», чем бы он ни был. В 1980 году Бекенштайн начал изучение первой такой границы. Получившая название «универсальная энтропийная граница» (впоследствии «граница Бекенштайна»), она кладет предел количеству энтропии, которое может нести в себе фиксированная масса вещества заданного объема. Так называемая голографическая граница, которая лимитирует количество энтропии в материи и энергии, занимающих определенный объем пространства, будет введена еще через полтора десятка лет Леонардом Зюсскиндом (Leonard Susskind) из Стэнфордского университета.
А пока что, в самом начале 1980-х, совершенно независимо от исследования черных дыр закладывается фундамент двух наиболее мощных (и по сию пору конкурирующих) направлений в теории квантовой гравитации — теории струн и петлевой квантовой гравитации (кратко LQG, от Loop Quantum Gravity). О теории струн будет сказано ниже, для зарождения же LQG важнейшую роль сыграла работа Абхая Аштекара (Abhay Ashtekar), сумевшего сделать выдающуюся переформулировку эйнштейновской теории относительности. Эта переформулировка привела к тому, что математический и концептуальный язык, которым описывается пространство-время, стал ближе к языку, используемому в физике частиц и квантовой теории.
В 1986 году американцы Ли Смолин и Тед Джекобсон (Lee Smolin, Ted Jacobson) обнаружили, что новый формализм Аштекара пригоден для получения реальных результатов относительно квантового пространства-времени. Начиная еще с 1950-х годов ключевым соотношением в теории квантовой гравитации было так называемое уравнение Уилера-Де Витта. Но записать-то его Брюс Де Витт (Bryce DeWitt) и Джон Уилер записали, но решить уравнение за три десятка лет никто так и не сумел. И вот теперь Смолин с Джекобсоном отыскали не только решение в общем виде, но и бесконечное множество точных частных решений уравнения. Эти решения открыли исследователям микроскопическую структуру в геометрии пространства и показали, что при рассмотрении в масштабах планковской длины наш мир выглядит как сеть ячеек — дискретных ребер, объединенных в графы. Чуть позже, в 1987 году, к Смолину присоединился Карло Ровелли (Carlo Rovelli), и вместе они смогли сделать из этих решений вполне самостоятельное — «петлевое» — представление теории квантовой гравитации.
С годами на базе LQG была создана обширная теория, дающая новую картину природы пространства и времени на уровнях планковского масштаба. Самый удивительный ее аспект в том, что на этом масштабе пространство оказывается не непрерывным, а состоящим из дискретных элементов, мельчайших единиц пространства, подобных открытым столетие назад квантам энергии. Объем такой минимальной единицы грубо задается кубом планковской длины. Площадь поверхности, отделяющая одну область пространства от другой, измеряется в дискретных единицах, мельчайшая из которых в грубом приближении равна квадрату планковской длины. Таким образом, если взять некий произвольный объем пространства и измерить с очень высокой точностью, мы обнаружим, что значение объема будет укладываться в дискретный ряд чисел, подобно тому, как это происходит с энергией электрона в атоме. А равно, как и в случае энергетических уровней атома, здесь тоже можно вычислять дискретные площади и объемы на основе теоретических выкладок.
Для нас сейчас самое интересное, конечно, в том, что величина энтропии черных дыр, рассчитанная на основе LQG, оказывается в точности такой же, что была получена Бекенштайном на основе совсем других умозаключений. Но это — важное достижение уже следующих десятилетий.
1990-е: мир как голограмма
Воспроизведение эффектного результата Бекенштайна-Хокинга, согласно которому энтропия черной дыры равна четверти площади ее горизонта, стало вызовом и «делом чести» для всякой теории квантовой гравитации, претендующей на серьезное место в истории. Более того, поскольку энтропия предполагается соотносящейся с мерой информации, надо отвечать и на следующий вопрос: что это за информация, которую учитывает энтропия черной дыры при поглощении материи? LQG на этот вопрос отвечает тем, что дает подробное описание микроскопической структуры горизонта черной дыры. Это описание построено, в свою очередь, на основе элементарного описания пространственной геометрии, из которого следует, что площадь горизонта черной дыры тоже квантована — как и пространство, она состоит из дискретных единиц, и каждая квантованная единица площади горизонта может иметь лишь конечное число состояний. Подсчитывая их, получают в точности результат Бекенштайна — с одной четвертой площади. К этому выводу разработчики LQG пришли совсем недавно — во второй половине 1990-х и начале 2000-х годов.
С середины 1990-х годов отмечается заметный прогресс и на другом, более известном обществу направлении движения к «Теории Всего» — в теории струн. Используя чрезвычайно нетривиальную математику, эта теория оперирует моделью микроскопических струн, вибрирующих в многомерном пространстве и порождающих все известные частицы вместе с их взаимодействиями. В количественном отношении физиков-«струнников» раз в десять больше, нежели сторонников LQG. Отчасти популярность теории струн объясняется успешным пиаром, но есть, конечно, и куда более глубокие причины. Каждая из пяти разных теорий струн предсказывает структуру, которая включает в себя не только гравитационные эффекты ОТО на больших расстояниях, но и эффекты квантовой механики на расстояниях малых. Уже одно это является важнейшей причиной для интенсивного изучения теории струн, если учесть, что общепринятая сегодня Стандартная модель теории квантового поля делает гравитацию невозможной… Еще большее внимание теория струн привлекает с тех пор, как в 1995 году Эдварду Уиттену (Edward Witten) из Института передовых исследований в Принстоне удалось построить единую концепцию (М-теорию), которая свела в общую картину пять теорий, прежде предполагавшихся совершенно разными.
Чуть раньше Джо (Joe Polchinski) из Калифорнийского университета Санта-Барбары открыл и развил в теории струн математический аппарат микроскопических объектов, именуемых D-бранами (обобщение понятия вибрирующей мембраны для разных размерностей). Вскоре этот аппарат и опирающаяся на него М-теория позволили Эндрю Стромингеру и Кумруну Вафе из Гарварда (Andrew Strominger, Cumrun Vafa) дать описание физики черных дыр в терминах струн и D-бран, то есть в терминах фундаментальных строительных блоков природы. Причем для значения энтропии Бекенштайна-Хокинга получен ожидаемый результат — четверть площади горизонта. Можно говорить, что в теории струн энтропия выведена путем подсчета количества квантовых микросостояний черной дыры, то есть в том же самом смысле, как Людвиг Больцман когда-то вывел уже известную энтропию газа на основе более глубоких соображений подсчетом всевозможных микросостояний этого газа. Важнейшее следствие результата Стромингера-Вафы в том, что любая информация, попадающая в черную дыру, не безвозвратно теряется (так всегда утверждал Стивен Хокинг), а накапливается во внутренней структуре D-бран. То есть теоретически выведен, можно сказать, закон сохранения информации во вселенной.
Еще одной важнейшей разработкой 1990-х годов, ведущей к дискретно-информационной картине мира, стал так называемый голографический принцип. Забавно, что он вынуждает физиков-теоретиков прибегать к слову «информация» в ситуациях, когда толком даже неясно, о чем в физическом смысле идет речь. Одно это уже интересно и заслуживает рассмотрения, поскольку на основе голографического принципа удается получать перспективные, а иногда просто поразительные результаты.
Сегодня голографический принцип существует уже в нескольких версиях. Сама же идея была выдвинута в 1993 году голландским теоретиком, нобелевским лауреатом Герардом ‘т Хоофтом (Gerard ‘t Hooft) из Утрехтского университета и существенно развита Леонардом Зюсскиндом. В основе принципа лежит граница Бекенштайна, задающая предел количеству информации, содержащейся в данном объеме пространства. Зюсскинд доказал, что конечная информационная емкость (энтропия) любой системы зависит не от ее объема, а от площади поверхности, ограничивающей эту систему. Это и есть упоминавшаяся ранее голографическая граница Зюсскинда. Голографической она названа потому, что принципы голографии дают столь поразительному результату вполне естественное объяснение. Ведь в нашем повседневном мире голограмма — это вид фотографии, порождающий полноценный трехмерный образ объекта с помощью информации, особым образом закодированной на двумерном куске пленки. Голографический принцип ‘т Хоофта утверждает, что аналог этой «визуальной магии» применим и к полному физическому описанию любой системы, занимающей некий объем пространства.
На сегодня в теоретической физике имеется уже несколько примеров интереснейшей реализации этой идеи. Упомянем, в частности, работу (1997) молодого аргентинского теоретика Хуана Малдасены (Juan Maldacena), использовавшего модель антидеситтеровского пространства-времени. (Пространство-время де Ситтера — это модель симметричной расширяющейся вселенной, впервые полученная голландским астрономом Виллемом де Ситтером в 1917 году как решение уравнений Эйнштейна, включающее силу отталкивания. Если же изменить знак космологической константы, то есть силу отталкивания в уравнениях поменять на притяжение, то решение де Ситтера обращается в так называемое антидеситтеровское пространство-время, которое обладает границей, расположенной «на бесконечности» и при этом очень похожей на привычное нам пространство-время.)
У Малдасены получилась пятимерная вселенная, описываемая в терминах теории струн и функционирующая в антидеситтеровском пространстве, но при этом эквивалентная квантовой теории поля, оперирующей на четырехмерной границе пространства-времени. Таким образом, вся величественность теории суперструн в антидеситтеровской вселенной оказывается записанной на границе этой вселенной. Впоследствии это необычное «голографическое» соотношение было неоднократно подтверждено и для других вариантов пространства-времени, с разными сочетаниями размерностей, в работах многих исследователей (в том числе и наших соотечественников Игоря Клебанова и Александра Полякова, работающих в Принстонском университете).
Эти результаты означают, что две очень разные теории — даже действующие в пространствах разной размерности — являются эквивалентными. И что теории гравитации могут оказываться той же самой вещью, что и квантовые теории поля, если смотреть на них надлежащим образом. При этом мыслящие создания, живущие в одной из таких вселенных, в принципе не могут определить, находятся ли они в пятимерной вселенной, описываемой теорией струн, или же в четырехмерном мире, описываемом квантовой теорией поля точечных частиц. А выбор одного из вариантов описания делается на основе предрассудков обитателей, опирающихся на врожденные представления и «здравый смысл» (подобно тому, как мы убеждены, что наш мир имеет лишь три пространственных и одно временное измерение). Тем не менее, голографическая эквивалентность может позволять, чтобы сложные вычисления в граничном четырехмерном пространстве-времени были заменены гораздо более простыми расчетами в высокосимметричном пятимерном антидеситтеровском пространстве.
Куда идем?
Многих физиков не покидает ощущение, что конкурирующие теория струн и LQG на самом деле представляют собой две стороны одной и той же монеты, «окончательной» теории квантовой гравитации, — слишком уж отчетливо слабые места каждой из них оказываются сильной стороной конкурента. Идеи же дискретности пространства, голографии и информации, как первоосновы всего, в своей экстремальной форме сводятся к следующему выводу. Возможно, границу Бекенштайна надо понимать не так, что имеются две разные вещи — геометрия пространства-времени и поток информации, а также закон, их связывающий, — но каким-то образом можно попытаться представить мир как одну эволюционирующую во времени сеть.
Тогда все происходящее в мире представляет собой процессы, где «информация» (что бы это ни было) течет от события к событию, а геометрия определяется этими информационными обменами. Мерой информационной емкости канала, по которому информация движется из прошлого в будущее, служит площадь поверхности. Так что каким-то образом геометрия оказывается некой выводимой величиной, подобно температуре или плотности. И точно так же, как температура является мерой средней энергии частиц, так и площадь некоторой поверхности оказывается приблизительной мерой емкости некоторого канала в «информационном» мире.
Ли Смолин, последние годы работающий в канадском Институте теоретической физики Perimeter, говорит: «Это та идея, с которой некоторые из нас любят играть, но мы пока еще не сконструировали физику на этой основе, и далеко не ясно, как это будет работать».
Как бы то ни было, полученные в последние годы необычные результаты все больше подрывают фундаментальное убеждение, превалировавшее последние полвека, будто теория поля является окончательным языком физики. Она начинает сдавать позиции новым идеям, важное место среди которых занимает голографический принцип. И хотя очевидно, что голографический способ мышления физиками до конца не понят, похоже, что он, выражаясь словами Якоба Бекенштайна, «пришел сюда, чтобы остаться». В заключение приведу высказывание Леонарда Зюсскинда о нынешнем состоянии физики:
Начало XXI века — это водораздел в современной науке, такое время, которое навсегда изменит наше понимание вселенной. Происходит нечто такое, что намного значительнее, нежели открытие новых фактов и новых уравнений. Это один из тех редких моментов, когда весь наш взгляд, сама система наших умопостроений, в целом понятийный аппарат физики и космологии неожиданно претерпевают подлинный переворот.
Две энтропии
Официальное рождение теории информации как научной дисциплины принято отсчитывать от основополагающей работы американского математика-прикладника Клода Шеннона «Математическая теория связи» (1948). Именно он ввел в обиход и двоичную единицу информации, впоследствии окрещенную «бит» (binary digit), и широко используемую сегодня меру количества информации под названием «энтропия». Позаимствовать термин из термодинамики посоветовал Шеннону знаменитый математик Джон фон Нейман (John von Neumann). Полушутя фон Нейман обосновал свой совет тем, что в среде математиков и инженеров мало кто знает об энтропии, а посему Шеннон получит огромное преимущество в неизбежных спорах о новой теории.
До этого энтропия в течение долгого времени была центральной концепцией термодинамики. Нестрого выражаясь, энтропия здесь описывается как мера неупорядоченности физической системы. В 1870-е годы австрийский физик Людвиг Больцман охарактеризовал ее более точно и строго в терминах количества различных микроскопических состояний молекул (гипотетических в ту пору частиц). Рассматривая газ как скопление снующих во все стороны молекул, Больцман применил статистические умозаключения и аналитически — подсчитывая все способы распределения и движения молекул в объеме — вывел законы термодинамики, прежде установленные из чисто эмпирических соображений. Чем, надо сказать, немало способствовал всеобщему принятию наукой идеи молекулярного строения вещества.
Когда Шеннон искал способ количественного описания информации, содержащейся в некотором сообщении, то логические рассуждения вывели его на формулу фактически того же вида, что и у больцмановской энтропии. Шенноновская энтропия сообщения — это количество двоичных цифр, битов, требующихся для его кодирования. Вполне можно говорить, что термодинамическая энтропия и шенноновская энтропия концептуально эквивалентны: количество расположений, подсчитываемое больцмановской энтропией, соответствует количеству шенноновской информации, которая понадобится для реализации всякого конкретного расположения.
Есть, конечно, между этими энтропиями и различия. Одно из важнейших — разница порядков величины. Кремниевый микрочип, содержащий гигабайт данных, к примеру, имеет шенноновскую энтропию порядка 1010 бит. Это несоизмеримо меньше, чем термодинамическая энтропия чипа, которая при комнатной температуре равна примерно 1023 бит. Столь гигантское отличие обусловлено тем, что энтропии вычисляются для разного количества степеней свободы. Степень свободы — это любая количественная характеристика, которая может изменяться: координата, задающая местоположение частицы, или, скажем, один из компонентов ее скорости. Шенноновская энтропия чипа учитывает лишь общее состояние транзистора в кристалле — включен он или выключен, то есть в состоянии 0 или 1. Это единственная двоичная степень свободы логического элемента.
Термодинамическая же энтропия, напротив, зависит от состояния всех миллиардов атомов (а также рыскающих между ними электронов), которые составляют каждый транзистор. По мере того, как технологии миниатюризации все больше приближают время, когда каждый атом будет способен хранить для нас один бит информации, полезная шенноновская энтропия чипов будет все ближе подходить к порядкам термодинамической энтропии их материала. Ну а когда эти две энтропии вычисляются для одного и того же количества степеней свободы, то они просто равны.
