Теория Янга-Миллса
АрхивНаукаРазвитие математики всегда шло рука
как раз тот случай, когда наши знания
о природе потребовали новых
математических аппаратов. =+=+=+=
В античном мире не было проблем с соответствием между математическим и физическим аппаратами: материалистические теории древних греков были наивными, умозрительными и математического обоснования не требовали, а вершина математической мысли греков - идеи Архимеда - к физическим теориям отношения не имели и предназначались для нужд геометрии.
Однако уже начиная с Нового времени, математика и физика не могут жить друг без друга. В самом буквальном смысле: Ньютон разработал матанализ именно как математический аппарат для своих физических открытий и даже философских идей. Кстати, сэр Исаак был очень недоволен Лейбницем, который сделал анализ понятным, доступным и алгоритмическим, - по мнению Ньютона, высшая математика должна была быть эзотеричной[Я уж молчу про анализ Ферма, основанный на алгебраической бесконечно малой, о котором нужно рассказывать отдельно]. Ньютон, по обыкновению того времени, зашифровал свое "научное завещание" в латинской анаграмме. Единственная разумная расшифровка этой анаграммы выглядит примерно так: "Полезно решать дифференциальные уравнения". Следующие два века действительно прошли под знаком математического анализа и дифференциальных уравнений - мир представлялся французским математикам, лидерам тогдашней науки, гигантской системой дифференциальных уравнений. Стоит только решить ее, и развитие Вселенной будет предсказано точно и достоверно. К этому мировоззрению относится и гордое лапласовское "В этой гипотезе я не нуждался" в ответ на замечание Наполеона о том, что система мира Лапласа не предусматривает Бога.
Во второй половине девятнадцатого века маятник качнулся в другую сторону. Развитие математики несколько опередило развитие физических теорий. Самый яркий и широко известный пример - неевклидовы геометрии Лобачевского, Бойяи, Гаусса и позднее примкнувшего к ним Римана. Поначалу эти теории всего лишь закрыли вопрос с пятым постулатом Евклида[Пятый постулат равносилен утверждению, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной. Евклид сформулировал его запутанно и многословно (в отличие от других, кристально ясных постулатов). Многие математики потратили кучу сил и времени на попытки вывода пятого постулата из остальных постулатов евклидовой геометрии], продемонстрировав, что он не выводится из остальных аксиом, - результат интересный, но вряд ли сам по себе имеющий хоть какое-то прикладное значение. Но впереди был Эйнштейн, который, опираясь на работы классика геометрии Минковского, показал, что Вселенная, на самом деле, имеет переменную кривизну, а школьная евклидова геометрия, увы, всего лишь абстракция.
Затем существующей математики еще долго хватало для того, чтобы описывать физические теории. Так, квантовая механика и основанные на ней теории (например, теория суперструн) пользуются заранее разработанными разделами математики (в частности, теорией групп и функциональным анализом).
Проблемы с квантовой теорией Янга-Миллса - это мяч, который снова попал на математическое поле. Физика требует от математики теории, которая описывала бы накопленные физиками идеи и соотношения, а математика пока не может дать подходящего аппарата.
Взаимодействия между любыми природными объектами (телами, частицами, волнами) делятся на четыре типа: гравитационное, электромагнитное, сильное и слабое. В физике не прекращались попытки создать теорию, которая бы объясняла все эти взаимодействия, так называемую общую теорию поля. Теория Янга-Миллса - это математический язык, который позволил физикам описать три из четырех основных сил природы (гравитация пока не поддается, так что об общей теории поля говорить рано).
Янг Чжэньнин (Chen Ning Yang) и Роберт Миллс (Robert Mills) в 1954 году опубликовали небольшую статью, которая до сих пор служит основой квантовой теории поля. О том, что такое теория поля, мы еще поговорим, а сейчас зададимся вопросом: что же отличает квантовые теории от классических? В классике основной объект изучения - частица или тело. Тела взаимодействуют друг с другом. Взаимодействие (как принято считать еще со времен Ньютона) осуществляется посредством полей, которые создаются частицами и воздействуют на другие частицы. Например, заряженная частица создает электромагнитное поле, частица с ненулевой массой - гравитационное. Отметим и одну из ключевых идей физики, как классической, так и квантовой: частица эквивалентна совокупности полей, которые она создает, ведь любое взаимодействие с другими частицами производится посредством этих полей; с точки зрения физики, рассматривать поля, порожденные частицей, - то же, что рассматривать саму частицу.
При квантовом подходе одну и ту же частицу можно описывать двумя разными способами: как частицу с некоторой массой и как волну с некоторой длиной. Единая частица-волна описывается не своим положением в пространстве, а волновой функцией (обычно обозначаемой как y), и ее местонахождение имеет вероятностную природу - вероятность обнаружить частицу в данной точке x в данное время t равна |?(x,t)|2.
Как же описывать движение частиц? Какие законы предсказывают эволюцию волновой функции с течением времени? В классической механике движение осуществляется по принципу наименьшего действия. Для данной механической системы можно построить функцию (называемую лагранжианом), минимизация интеграла от которой и дает предсказание поведения системы - траектории движущихся тел. В квантовой механике понятие "траектория" теряет смысл, но понятие лагранжиана сохраняется, и с его помощью можно предсказать поведение волновых функций взаимодействующих частиц.
Возникает вопрос: каким образом учитывать поля квантовой системы при построении этого самого лагранжиана? Ответ на этот вопрос дают так называемые квантовые теории поля. Множественное число не случайно: лагранжиан можно строить разными способами, дело лишь в том, какой из них лучше описывает реальность.
Вернемся к волновым функциям. При измерении вероятность найти частицу в данной точке равна квадрату модуля волновой функции. Значит, функцию можно умножить на любое комплексное число с единичным модулем (сдвинуть фазу), и ничего не изменится: вероятность нахождения частицы в каждой конкретной точке останется точно такой же. Фактически конкретный вид волновой функции нам никогда не узнать, да он нас и не интересует; зато очень интересно, какие операции можно произвести над волновой функцией так, чтобы свойства системы не изменились.
Аналогично, лагранжиан вообще лучше всего характеризовать теми преобразованиями, которые он "выдерживает", - то есть при которых свойства системы не изменяются. Например, сдвиг фазы выдерживает лагранжиан, который описывает поведение одного электрона.
Совокупность таких преобразований в математике называют группой. Группы играют фундаментальную роль в разных областях знания - это язык, на котором в современной науке формулируется понятие симметрии. Группа преобразований, которая появилась в примере с электроном, носит название калибровочной группы. В математике ее обозначают U(1), и она очень проста - обычная окружность на плоскости (совокупность всех поворотов вокруг начала координат). Аналогичные теории для сильного и слабого взаимодействия приводят к более сложным калибровочным группам SU(3) и SU(2) (последняя эквивалентна трехмерной сфере, лежащей в четырехмерном пространстве).
Чтобы добраться до квантовых теорий Янга-Миллса, осталось сделать два важных шага. Первый шаг заключается в том, чтобы требования глобальной инвариантности дополнить требованиями локальной инвариантности. В предыдущем примере на число с единичным модулем нужно было умножать всю функцию сразу. Но ничего не изменилось бы, если бы это умножение произошло не во всем пространстве, а в какой-то его части. В математике это называется переходом от групп глобальных преобразований к группам локальных преобразований.
Второй принципиальный момент заключается в том, что в теориях Янга-Миллса приходится использовать так называемые неабелевы группы преобразований. Из-за этого нарушается принцип суперпозиции: если на частицу действуют несколько полей сразу, их совокупный эффект уже нельзя разложить на действие каждого из них поодиночке. Так получается потому, что в этой теории друг к другу притягиваются не только частицы материи, но и сами силовые линии поля! Из-за этого уравнения становятся нелинейными и весь арсенал математических приёмов для решения линейных уравнений к ним применить нельзя. Поиск решений и даже доказательство их существования становятся несравнимо более сложной задачей.
Янг и Миллс предложили общий вид лагранжианов, которые должны были привести к успеху. На основе теории Янга-Миллса сначала были объединены электрическая и слабая теории, а затем Мюррей Гелл-Манн (Murray Gell-Mann) построил теорию сильного взаимодействия. В этой теории, принесшей Гелл-Манну Нобелевскую премию, для объяснения наблюдаемых эффектов появились кварки - частицы с дробным электрическим зарядом, из которых состоят протоны, нейтроны и другие вовсе не элементарные частицы. Теория сильного взаимодействия получила название квантовой хромодинамики[Термин "хромодинамика" может показаться странным - какой может быть цвет (греческое chroma - цвет, краска) у элементарных частиц? Тем не менее свойства элементарных частиц порой носят неожиданные названия. Кварки, например, делятся на шесть типов, которые принято называть ароматами; ароматы отличаются квантовыми числами, среди которых не только заряд, но и странность и очарование. А цвет - это характеристика не только кварков, но и глюонов - частиц, которые, по мнению физиков, реализуют взаимодействие между кварками. У них еще и антицвет бывает, но в это мы углубляться не будем].
Чтобы теория могла описывать сильное взаимодействие, она должна обладать тремя свойствами, которые совершенно не свойственны классическим теориям:
Многочисленные эксперименты - как in vivo, так и in silicio["In vivo" означает "в живом" - это стандартный биологический термин для экспериментов в живой природе, а не в искусственных средах. Однако в последние десятилетия стали все более популярны компьютерные эксперименты. Для их обозначения биологи придумали меткий термин "in silicio" - "в кремнии"] - показали, что квантовая хромодинамика этими свойствами обладает. Однако математически это не доказано. Математически строгое построение квантовой теории поля, обладающей этими свойствами, и составляет предмет нашей сегодняшней задачи на миллион[Говоря более строгим языком, задача состоит в том, чтобы для каждой компактной простой калибровочной группы построить квантовую теорию Янга-Миллса в четырехмерном пространственно-временном континууме, обладающую свойством mass gap, - иными словами, такую теорию, спектр гамильтониана H которой (в квантовом случае аналог классического лагранжиана называется гамильтонианом) был бы отделен от нуля].
Впрочем, главной целью исследований в этой области, выходящей за рамки любых конкурсов, является, конечно, общая теория поля - универсальное математическое описание всех процессов, происходящих в нашей Вселенной. Достигнет ли теоретическая физика этой поистине грандиозной цели в XXI веке - покажет только время.
- Из журнала "Компьютерра"
Редакция благодарит:
Игоря Иванова (elementy.ru/blogs/ users/spark), физика-теоретика, специалиста по физике элементарных частиц, - за консультации; Джо Андерсона (Joe Anderson), директора Библиотеки Нильса Бора Центра истории физики Американского института физики, - за предоставление редкого снимка Ч. Янга и Р. Миллса; Дерека Лайнвебера (Derek Leinweber) из Университета Аделаиды - за иллюстративный материал по квантовой хромодинамике.
