Проблемы 2000 года: теория Янга−Миллса

Наши новые знания о природе требуют новых, ещё не разработанных математических аппаратов.

Развитие математики всегда шло рука об руку с развитием физики: то наши знания о природе требовали новых, еще не разработанных математических аппаратов, то новая математика, поначалу представляющаяся лишь изящным упражнением для ума, неожиданно оказывалась необходимой для развития физических теорий. Описанная нами "задача на миллион" относится к первой из этих категорий.

В античном мире не было проблем с соответствием между математическим и физическим аппаратами: материалистические теории древних греков были наивными, умозрительными и математического обоснования не требовали, а вершина математической мысли греков - идеи Архимеда - к физическим теориям отношения не имели и предназначались для нужд геометрии.

Однако уже начиная с Нового времени, математика и физика не могут жить друг без друга. В самом буквальном смысле: Ньютон разработал матанализ именно как математический аппарат для своих физических открытий и даже философских идей. Кстати, сэр Исаак был очень недоволен Лейбницем, который сделал анализ понятным, доступным и алгоритмическим, - по мнению Ньютона, высшая математика должна была быть эзотеричной (я уж молчу про анализ Ферма, основанный на алгебраической бесконечно малой, о котором нужно рассказывать отдельно). Ньютон, по обыкновению того времени, зашифровал своё "научное завещание" в латинской анаграмме. Единственная разумная расшифровка этой анаграммы выглядит примерно так: "Полезно решать дифференциальные уравнения". Следующие два века действительно прошли под знаком математического анализа и дифференциальных уравнений - мир представлялся французским математикам, лидерам тогдашней науки, гигантской системой дифференциальных уравнений. Стоит только решить её, и развитие Вселенной будет предсказано точно и достоверно. К этому мировоззрению относится и гордое лапласовское "В этой гипотезе я не нуждался" в ответ на замечание Наполеона о том, что система мира Лапласа не предусматривает Бога.

Во второй половине девятнадцатого века маятник качнулся в другую сторону. Развитие математики несколько опередило развитие физических теорий. Самый яркий и широко известный пример - неевклидовы геометрии Лобачевского, Бойяи, Гаусса и позднее примкнувшего к ним Римана. Поначалу эти теории всего лишь закрыли вопрос с пятым постулатом Евклида (пятый постулат равносилен утверждению, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной. Евклид сформулировал его запутанно и многословно. Многие математики потратили кучу сил и времени на попытки вывода пятого постулата из остальных постулатов евклидовой геометрии), продемонстрировав, что он не выводится из остальных аксиом, - результат интересный, но вряд ли сам по себе имеющий хоть какое-то прикладное значение. Но впереди был Эйнштейн, который, опираясь на работы классика геометрии Минковского, показал, что Вселенная, на самом деле, имеет переменную кривизну, а школьная евклидова геометрия, увы, всего лишь абстракция.

Затем существующей математики ещё долго хватало для того, чтобы описывать физические теории. Так, квантовая механика и основанные на ней теории (например, теория суперструн) пользуются заранее разработанными разделами математики (в частности, теорией групп и функциональным анализом).

Проблемы с квантовой теорией Янга-Миллса - это мяч, который снова попал на математическое поле. Физика требует от математики теории, которая описывала бы накопленные физиками идеи и соотношения, а математика пока не может дать подходящего аппарата.

Взаимодействия между любыми природными объектами (телами, частицами, волнами) делятся на четыре типа: гравитационное, электромагнитное, сильное и слабое. В физике не прекращались попытки создать теорию, которая бы объясняла все эти взаимодействия, так называемую общую теорию поля. Теория Янга-Миллса - это математический язык, который позволил физикам описать три из четырех основных сил природы (гравитация пока не поддаётся, так что об общей теории поля говорить рано).

Янг Чжэньнин (Chen Ning Yang) и Роберт Миллс (Robert Mills) в 1954 году опубликовали небольшую статью, которая до сих пор служит основой квантовой теории поля. О том, что такое теория поля, мы ещё поговорим, а сейчас зададимся вопросом: что же отличает квантовые теории от классических? В классике основной объект изучения - частица или тело. Тела взаимодействуют друг с другом. Взаимодействие (как принято считать ещё со времен Ньютона) осуществляется посредством полей, которые создаются частицами и воздействуют на другие частицы. Например, заряженная частица создает электромагнитное поле, частица с ненулевой массой -гравитационное. Отметим и одну из ключевых идей физики, как классической, так и квантовой: частица эквивалентна совокупности полей, которые она создаёт, ведь любое взаимодействие с другими частицами производится посредством этих полей; с точки зрения физики, рассматривать поля, порождённые частицей, - то же, что рассматривать саму частицу.

При квантовом подходе одну и ту же частицу можно описывать двумя разными способами: как частицу с некоторой массой и как волну с некоторой длиной. Единая частица-волна описывается не своим положением в пространстве, а волновой функцией (обычно обозначаемой как ψ), и её местонахождение имеет вероятностную природу - вероятность обнаружить частицу в данной точке x в данное время t равна |ψ(x,t)|2.

Как же описывать движение частиц? Какие законы предсказывают эволюцию волновой функции с течением времени? В классической механике движение осуществляется по принципу наименьшего действия. Для данной механической системы можно построить функцию (называемую лагранжианом), минимизация интеграла от которой и дает предсказание поведения системы - траектории движущихся тел. В квантовой механике понятие "траетория" теряет смысл, но понятие лагранжиана сохраняется, и с его помощью можно предсказать поведение волновых функций взаимодействующих частиц. Возникает вопрос: каким образом учитывать поля квантовой системы при построении этого самого лагранжиана?

Ответ на этот вопрос дают так называемые квантовые теории поля. Множественное число не случайно: лагранжиан можно строить разными способами, дело лишь в том, какой из них лучше описывает реальность.

Вернёмся к волновым функциям. При измерении вероятность найти частицу в данной точке равна квадрату модуля волновой функции. Значит, функцию можно умножить на любое комплексное число с единичным модулем (сдвинуть фазу), и ничего не изменится: вероятность нахождения частицы в каждой конкретной точке останется точно такой же. Фактически конкретный вид волновой функции нам никогда не узнать, да он нас и не интересует; зато очень интересно, какие операции можно произвести над волновой функцией так, чтобы свойства системы не изменились.

Аналогично, лагранжиан вообще лучше всего характеризовать теми преобразованиями, которые он "выдерживает", - то есть при которых свойства системы не изменяются. Например, сдвиг фазы выдерживает лагранжиан, который описывает поведение одного электрона. Совокупность таких преобразований в математике называют группой. Группы играют фундаментальную роль в разных областях знания - это язык, на котором в современной науке формулируется понятие симметрии. Группа преобразований, которая появилась в примере с электроном, носит название калибровочной группы. В математике её обозначают U(1), и она очень проста - обычная окружность на плоскости (совокупность всех поворотов вокруг начала координат). Аналогичные теории для сильного и слабого взаимодействия приводят к более сложным калибровочным группам SU(3) и SU(2) (последняя эквивалентна трёхмерной сфере, лежащей в четырехмерном пространстве).

Чтобы добраться до квантовых теорий Янга-Миллса, осталось сделать два важных шага. Первый шаг заключается в том, чтобы требования глобальной инвариантности дополнить требованиями локальной инвариантности. В предыдущем примере на число с единичным модулем нужно было умножать всю функцию сразу. Но ничего не изменилось бы, если бы это умножение произошло не во всём пространстве, а в какой-то его части. В математике это называется переходом от групп глобальных преобразований к группам локальных преобразований.

Второй принципиальный момент заключается в том, что в теориях Янга-Миллса приходится использовать так называемые неабелевы группы преобразований. Из-за этого нарушается принцип суперпозиции: если на частицу действуют несколько полей сразу, их совокупный эффект уже нельзя разложить на действие каждого из них поодиночке. Так получается потому, что в этой теории друг к другу притягиваются не только частицы материи, но и сами силовые линии поля! Из-за этого уравнения становятся нелинейными и весь арсенал математических приёмов для решения линейных уравнений к ним применить нельзя. Поиск решений и даже доказательство их существования становятся несравнимо более сложной задачей.

Янг и Миллс предложили общий вид лагранжианов, которые должны были привести к успеху. На основе теории Янга-Миллса сначала были объединены электрическая и слабая теории, а затем Мюррей Гелл-Манн (Murray Gell-Mann) построил теорию сильного взаимодействия. В этой теории, принесшей Гелл-Манну Нобелевскую премию, для объяснения наблюдаемых эффектов появились кварки - частицы с дробным электрическим зарядом, из которых состоят протоны, нейтроны и другие вовсе не элементарные частицы. Теория сильного взаимодействия получила название квантовой хромодинамики.

Термин "хромодинамика" может показаться странным - какой может быть цвет (греческое chroma - цвет, краска) у элементарных частиц? Тем не менее, свойства элементарных частиц порой носят неожиданные названия. Кварки, например, делятся на шесть типов, которые принято называть ароматами; ароматы отличаются квантовыми числами, среди которых не только заряд, но и странность и очарование. А цвет - это характеристика не только кварков, но и глюонов - частиц, которые, по мнению физиков, реализуют взаимодействие между кварками. У них еще и антицвет бывает, но в это мы углубляться не будем.

Чтобы теория могла описывать сильное взаимодействие, она должна обладать тремя свойствами, которые совершенно не свойственны классическим теориям:

• mass gap ("щель в спектре масс", ограничение снизу на "энергетический спектр");
• кварковый конфайнмент: кварки не могут "выбраться" за пределы элементарных частиц;
• определённые нарушения симметрии (подробности здесь опускаем).

Многочисленные эксперименты как in vivo, так и in silicio ("In vivo" означает "в живом" - это стандартный биологический термин для экспериментов в живой природе, а не в искусственных средах. Однако в последние десятилетия стали всё более популярны компьютерные эксперименты. Для их обозначения биологи придумали меткий термин "in silicio" - "в кремнии") - показали, что квантовая хромодинамика этими свойствами обладает. Однако математически это не доказано. Математически строгое построение квантовой теории поля, обладающей этими свойствами, и составляет предмет нашей сегодняшней "задачи на миллион".

Говоря более строгим языком, задача состоит в том, чтобы для каждой компактной простой калибровочной группы построить квантовую теорию Янга-Миллса в четырёхмерном пространственно-временном континууме, обладающую свойством mass gap, - иными словами, такую теорию, спектр гамильтониана H которой (в квантовом случае аналог классического лагранжиана называется гамильтонианом) был бы отделён от нуля.

Впрочем, главной целью исследований в этой области, выходящей за рамки любых конкурсов, является, конечно, общая теория поля - универсальное математическое описание всех процессов, происходящих в нашей Вселенной. Достигнет ли теоретическая физика этой поистине грандиозной цели в XXI веке - покажет только время.

Редакция благодарит за консультации Игоря Иванова (http://elementy.ru/blogs/users/spark), физика-теоретика, специалиста по физике элементарных частиц