Сетевое многозаконие

На днях на Конгрессе математиков в Мадриде премию Рольфа Неванлинны, эквивалентную по значимости знаменитому "Филдсу", но вручаемую не за чистую математику, а "за математические достижения, связанные с информационным обществом", получил Ион Клейнберг (Jon Kleinberg).

На днях на Конгрессе математиков в Мадриде премию Рольфа Неванлинны, эквивалентную по значимости знаменитому "Филдсу", но вручаемую не за чистую математику, а "за математические достижения, связанные с информационным обществом", получил Ион Клейнберг (Jon Kleinberg). Среди этих достижений есть важные математические результаты по структуре "сетей малого мира" (то есть таких, где участников разделяют те самые "шесть рукопожатий" — ну, в крайнем случае семь-восемь).

Сетевая наука (network science) имеет прямое отношение к математике информационного общества, причем к очень наглядной ее части - формуле вычисления "ценности" (читай - стоимости) коммуникационных сетей. В июле в журнале IEEE Spectrum опубликована статья Эндрю Одлыжко [Andrew Odlyzko, известный математик, а в прошлом еще и руководитель отделов математики и криптографии в AT&T Labs] с соавторами  "Закон Меткалфа неверен". Формула закона Меткалфа, как считают авторы, сыграла роковую историческую роль в качестве стимулятора роста "пузыря доткомов", дезориентировав энтузиастов "новой экономики", которые до сих пор оплакивают свои деньги, погибшие в недрах пузыря.

Роберт Меткалф (Robert Metcalfe) - популярнейшая фигура в ИТ-кругах: достаточно сказать, что он изобрел протокол Ethernet и был соавтором патентов на его ключевые компоненты (хотя, как недавно признался Меткалф в интервью iOne, www.ione.ru/scripts/interview.asp?id=14780, обогатило его другое: основу личного состояния размером около "миллиГейтса" составляет пакет акций его собственной фирмы 3Com). Меткалф выдвинул идею, что ценность (value) коммуникационной сети пропорциональна не количеству участников (как в классической трансляционной сети), а количеству связей между ними. Количество же связей он, как человек деловой, оценил грубо, но внятно - по максимуму, исходя из того, что каждый связан с каждым. В этом случае число связей пропорционально квадрату числа узлов сети. Вот эту формулу комментатор ИТ-сектора Джордж Гилдер (George Gilder) и назвал в 1993 году "законом Меткалфа".

Одлыжко с соавторами отмечают, что в героические для доткомов годы эта формула покорила умы антрепренеров, инженеров и венчурных капиталистов, придавая, как им казалось, какой-то рациональный смысл тогдашним волшебным заклинаниям: "сетевой эффект", "время Интернета" и т. п. При очевидной (задним числом!) наивности, она срабатывала как железное и даже математическое обоснование фантастической выгоды от вложений в любые сетевые проекты: вы вкладываете 100 долларов, а отдача - согласно закону Меткалфа - будет 100*100 = 10000. Этой же формулой неявно обосновывалась еще и бешеная гонка за ростом клиентской базы. Авторы удивляются, что закон Меткалфа в таком качестве прекрасно пережил крах доткомов и сейчас опять цитируется "энтузиастами Bubble 2.0", вдохновленными успехом Google - несмотря на то что масса проектов времен Первого Пузыря с треском рухнула в разгар погони за численностью клиентов. А ведь некоторым нравился еще более крутой, хотя и очевидно абсурдный закон Рида (David Reed), одного из пионеров сетевых разработок, который предсказывал экспоненциальный рост стоимости сетей.

В противовес всему этому великолепию Одлыжко с соавторами предлагают другую зависимость: ценность сети, по их мнению, растет как nlog(n). Эта зависимость предсказывает гораздо более скромный эффект от вложения средств. Причина в том, что не все связи одинаково ценны. Авторы выводят свою формулу из предположения, что ценность связей распределяется по так называемому закону Ципфа.

В действительности, точно оценить количество и интенсивность связей, возникающих в стихийно растущих сетях, очень трудно. К модной и интригующей области - математике сложных сетей - как раз и относятся исследования Клейнберга. Напомним, что с бумом доткомов совпал и бум сетевой науки, а реалистичные модели развития сетей первыми построили физики-теоретики в конце 1990-х. Именно в этих задачах ярко проявил свой талант (точнее, гений - ведь он лауреат почетной стипендии фонда Макартуров, в просторечии именуемой "стипендией для гениев") Ион Клейнберг.

Формула Меткалфа предполагает, что сеть - это один сплоченный "малый мир". Это упрощение, но не такое уж грубое - коммуникационные сети имеют структуру иерархии малых миров. Вокруг хабов - плотные кластеры, они распадаются на меньшие кластеры и т. д. Клейнберг изучал актуальнейшую проблему - как искать в такой сети кратчайшие пути, те самые "шесть рукопожатий", предположительно соединяющие двух пользователей? Он получил удивительный результат - существует [Как всегда в математике — "при определенных предположениях"] только один закон "энергии связей пользователей" [Мистически похожий на закон Ципфа], при котором такой поиск можно сделать эффективным. Как подчеркивается в пресс-релизе матконгресса, методы Клейнберга помогли при разработке пиринговых сетей.

Мораль: простая и сложная математика работают в жизни по-разному. Закон Меткалфа зачаровал романтиков "новой экономики". Метод Клейнберга использовали доткомовцы-реалисты. Но если бы не было гигантского пузыря, кто знает, хватило ли бы денег в отрасли для роста жизнеспособных проектов.

Интересно, скоро ли математика научится анализировать собственную роль в развитии событий?