Занимательная математика в эпоху хайтека

Архив

Рунет создавался, точнее наполнялся, постепенно. Сначала хозяйничали создатели-технари — до сих пор львиную долю ресурсов составляют сайты, посвященные веб-строительству, языкам программирования, администрированию, защите, движкам, RSS-лентам и прочим непригодным в домашнем хозяйстве заклинаниям.

Рунет создавался, точнее наполнялся, постепенно. Сначала хозяйничали создатели-технари — до сих пор львиную долю ресурсов составляют сайты, посвященные веб-строительству, языкам программирования, администрированию, защите, движкам, RSS-лентам и прочим непригодным в домашнем хозяйстве заклинаниям. Когда стали платить за показ рекламы и началась борьба за посетителей — расцвели пупсики-кроватки, знакомства-клубнички, астропрогнозы, байки из жизни звезд и желто-скандальные новости. Были, конечно, и замечательные литературные, «фотографические» и прочие интересные странички — число их росло по мере приобщения народа к Сети. Научным и особенно научно-популярным сайтам повезло меньше. Их по сей день до обидного мало — все хорошие ресурсы можно перечесть по пальцам.

Доступ к Интернету получила в основном молодежь, связанная с ним учебой или работой. Люди же постарше, которым, возможно, и есть что сказать, в силу экономических и прочих причин зачастую не владеют технологией «выкладывания себя». В связи с этим невозможно переоценить роль проекта «народ.ру», позволившего всем желающим заиметь свою страничку. Были и другие бесплатные хостеры, но на «народе» — удобная веб-форма для закачки файлов, заготовки форумов, гостевых книг, каталоги-рейтинги, народная газета. Все это совершило революцию — народ через «народ» пошел в Сеть.

Отметим, что признанные научно-популярные издания не стали объединяющими центрами. «Наука и жизнь», «Знание — сила», «Химия и жизнь», «Квант» имеют свои страницы, но это скорее веб-представительства, даже не дублирующие бумажное издание (Кстати, огромное спасибо ребятам из Кинешмы, которые уже не первый год полностью выкладывают материалы бумажной «Компьютерры» (www.kinnet.ru/cterra)). На все, конечно, есть причины, но так уж сложилось, что нет общего сетевого журнала, который непременно хотелось бы полистать в свободную минутку, или даже урвать момент от минутки несвободной.

Может, оно и к лучшему. Отсутствие «толстых» журналов породило интересное явление — стихийную популяризацию науки! Врачи, инженеры, научные работники, журналисты и просто энтузиасты за последние два-три года открыли множество интереснейших сайтов, особенно по биологии, математике и астрономии. Появились тематические сообщества в «Живом Журнале» (www.livejournal.com/community/ru_math/89010.html, www.livejournal.com/community/ru_math/89010.html). Неплох сайт «Известия-Наука», рубрика моего виртуального коллеги Андрея Колесникова в «Компьютерных вестях» (www.kv.by); часто печатают статьи по занимательному программированию в киевском еженедельнике «Мой компьютер», в московском журнале «Hard’n’Soft». Общего «занимательного центра» — по образцу, например, «Науки и жизни» с ее обязательными рубриками, предсказуемой навигацией и списком годовых публикаций в декабрьском номере — по-прежнему нет. Но нужен ли он, если существуют десятки самобытных интересных адресов, каждый с изюминкой, со своей структурой и логикой, разобравшись в которой, вы получаете истинное наслаждение. Вот чудесная rechka.ru, протекающая по самым вкусным занимательным областям, вот страница www.px-pict.com, посвященная составлению фигур из квадратов с сопутствующими занимательными сведениями. Посещение каждой такой страницы — небольшой праздник, а я, например, именно этого жду от Интернета, предлагая рассматривать его как карнавал-калейдоскоп приятных событий, а не заурядную кормушку для бизнеса.

Что же изменилось за последние годы в области наших любимых развлечений? Каждый знает об огромном влиянии ИТ-новшеств на повседневную жизнь, которую так преобразили мобильная связь и электронные гаджеты, сетевые СМИ и веб-сервисы, электронный бизнес и даже садово-парковое проектирование при помощи компьютера. Уважительно отношусь к чужому труду и чужим увлечениям, но посмею заметить, что все перечисленное довольно скучно по сравнению с вещами более привлекательными — в первую очередь, с занимательной математикой. Эта приятнейшая забава тоже прошла интересный путь за последние двадцать лет.

Большинству читателей времена «Феликсов» и логарифмических линеек кажутся такими же далекими, как дата первого выхода «Арифметики» Магницкого. Однако я считал дипломный проект и все курсовые работы на логарифмической линейке. Красивые графики из книжек по занимательной математике я строил на миллиметровке с помощью таблиц Брадиса. Восторга от полученных результатов было ничуть не меньше, чем от общения с нынешней любимой двухгигагерцовой числомолотилкой. Простой настольный калькулятор вызывал восхищение. Помню, с каким удовольствием я нажимал его клавиши при первом знакомстве, проверяя известные закономерности и числовые фокусы.

Здесь же следует уронить несколько слез ностальгии, например, по номограммам — ныне это таинственное искусство совмещать несколько функций на одном графике приказало долго жить. Та же легкая грусть возникает при рассматривании картинок остроумнейших механизмов для дифференцирования, интегрирования и рисования графиков сложнейших функций. Они почили в бозе, как и логарифмические линейки, арифмометры, таблицы логарифмов, счеты и перфокарты с перфолентами. Мало того, канула в Лету и чудесная школьная арифметика, требующая фантазии и воображения, уступив место тривиальному составлению уравнений (см. «Ностальгия по арифметике», «КТ» #409).

Следующим шагом после калькуляторов можно считать появление дисплеев ЭВМ (Электронная вычислительная машина; так, дети, раньше по-русски называли компьютер. — Л.Л.-М) серии ЕС и СМ. Я и раньше умудрялся экспериментировать, вводя информацию на перфокартах, а результаты рассматривая на координатографах, но эти алфавитно-цифровые дисплеи впервые позволили испытать интерактивность, сделать нечто развлекательное на основе диалога. Все помнят игровую классику того времени — «быков и коров», посадку спутника на Луну, стрельбу из пушки (вы задаете угол, а вам сообщают недолет или перелет в метрах) и, конечно же, ним-подобные игры с кучками предметов, которые надо брать по очереди, последний взявший проигрывает. Популярны были отгадыватели задуманного машиной числа, особенно «вилкой» из двух чисел (программа сообщала, где лежит задуманное — ниже меньшего, выше большего или между ними). Отличное упражнение для изучающих бейсик и просто повод приятно порассуждать — в каком максимальном диапазоне должно находиться число, чтобы его можно было отгадать с пяти попыток?

Прежде чем перейти к взрывообразному эффекту от появления графических дисплеев, отметим два важнейших «алфавитно-цифровых» события. Первое, конечно же, игра «Жизнь». В докомпьютерную эпоху я играл в нее на шахматной доске. Потом она стала классикой программирования, и как только появлялось новое оборудование или менялась операционная система на старом, сразу же на экране возникали «мигалки» и «планеры», организмы двигались, рождались и умирали. Каждый программист после «Hello, World» просто был обязан написать «Жизнь» на своем любимом языке. Впрочем, «Жизнь» лишь частный случай обширной теории клеточных автоматов (КА), открывающей необъятный простор для творчества. На основе КА построены (см. статью Константина Кнопа «Тьюрмиты», «КТ» #246, а также ссылки в arbuz/y_life.html) алгоритмы, повторяющие на экране циклические химические реакции Белоусова с их характерными вихрями, модели движения людей в переходах, апплеты, моделирующие панику при эпидемии (www.kevan.org/proce55ing/zombies). Известны также варианты «Жизни» на треугольных, шестиугольных и объемных полях, есть скрипты для запусков организмов в онлайне. Не пожалейте времени, напишите игру «Жизнь» для шестиугольного поля. Получите удовольствие от подбора законов существования колонии и от попутно возникающих идей — например, менять законы в той или иной зависимости от числа особей в популяции.

Второе событие, определившее целую эпоху в нашей недолгой истории, — это тетрис. Простое и остроумное детище Алексея Пажитнова, сопоставимое в офлайне разве что с кубиком Рубика, прошагало по всем компьютерам, начиная с БК, ДВК и Синклера, породило десятки клонов и навсегда запомнится нам как компьютерная игра номер один3. Работая в ВЦ АН СССР, Пажитнов занимался проблемами искусственного интеллекта и распознавания речи, а для обкатки идей применял головоломки, в том числе и классическое пентамино. Костяшка домино состоит из двух квадратиков, тримино — из трех, а уж пять фигурок тетрамино, использующихся в тетрисе, знакомы каждому (на самом-то деле их не пять, а семь, две пары переходят друг в друга при отражении и не переходят при вращении). Напомню, что интерес во всем мире к этим квадратикам вспыхнул благодаря книге С. В. Голомба «Полимино»4 (М.: Мир, 1975). Центральное место в подобных развлечениях занимали пентамино — фигурки из пяти квадратиков. Двенадцать плиток пентамино были необычайно популярны, читатели постарше помнят, что в «Науке и жизни», начиная с 70-х годов, был постоянный раздел, посвященный составлению фигурок из набора пентамино. Попробуйте самостоятельно нарисовать все варианты пентамино — непременно получите удовольствие. Если справились, попробуйте ответить на следующие вопросы: сколько существует гексамино (из шести квадратиков) и гептамино (из семи)? Сколькими вариантами можно сложить цепочки из n треугольников? А шестиугольников?

Вот Пажитнов и пытался автоматизировать укладку пентамино в заданные фигурки. Однако вычислительных мощностей тогдашнего оборудования не хватало для вращения пентамино, приходилось отлаживать в тетрамино, что и определило название игры — «Тетрис» от греческого tetra («четыре»). В тех опытах и родилась великая идея — чтобы фигурки падали, а заполненные ряды исчезали. Кстати, в последнее время все чаще пишут просто тетрис (без кавычек, как радио или трамвай), что свидетельствует о проникновении слова в повседневный язык.

Чтобы написать тетрис на языке Pascal для «Электроники-60», Пажитнову хватило двух недель. Сослуживцы Алексея были в восторге, но расширить аудиторию игры можно было лишь портированием на IBM PC. В этом Пажитнову помог его приятель, шестнадцатилетний школьник Вадим Герасимов. Вскоре вся Москва сходила с ума по тетрису. За «железный занавес» игра проникла благодаря венгерским программистам, которые переписали его под платформы Apple II и Commondore 64. В бесчисленных публикациях о создателе тетриса неизменно подчеркивается, что Алексей практически ничего не получил за свою сверхплодотворную идею. Зато теперь он работает на Microsoft, где принимал участие в разработке целого набора игр Puzzle Collection (www.microsoft.com/games/puzzle).

Некий фантазер однажды высказал мысль, что тетрис — это аллегория человеческой жизни (www.kv.by/index.cgi?id=1998161104). Когда ты молод, все просто и безоблачно, ты без особых усилий справляешься с ерундовыми трудностями, сыплющимися со всех сторон. Даже можешь позволить себе некоторое лихачество и эстетство. Дальше трудности делаются все более серьезными, но ты, не слишком напрягаясь, все-таки преодолеваешь их. Ты уже поймал ритм жизни, вошел во вкус. Иногда удается одним удачным движением расправиться со всеми проблемами — «стакан» на мгновение пустеет. Но проходит время, и ты вдруг начинаешь совершать досадные ошибки буквально на ровном месте. Тут уже не до лихачества — быть бы самому живым. А затем… Затем наступает быстрый и печальный финал — игра заканчивается.

Но не будем о грустном. Тем более что у нас под рукой есть одно бесценное свойство компьютеров, так продвинувшее занимательные забавы, — графический вывод. Вспомним фигуры Лиссажу, которые прежде можно было увидеть только на экранчике осциллографа. В течение многих лет я возвращаюсь к этим чудесным экспериментам и не устаю восхищаться все новыми и новыми изображениями.

Упомянем компьютерную реализацию старой игрушки «Спирограф» — в бесконечных опытах с эпи- и гипоциклоидами, задавая разные соотношения радиусов катящихся колес, можно получать красивейшие узоры (см. «Роз узор», «КТ» #412). Ну, и известные с детства уравнения цветка сирени, листики, розетки и лепестки, эллипсы и спирали. Есть и другие волнующие кривые — улитка Паскаля, кардиоида, овалы Кассини, конхоида, лемниската Бернулли и прочие чудеса. Можно, конечно, рисовать их и вручную, но… овалы Кассини, например, задаются уравнением четвертой степени, без компьютера я бы не взялся за столь трудоемкие вычисления, а тут пожалуйста — за несколько минут можно отладить программу и провести десятки экспериментов с параметрами.

Еще одна потрясающая воображение возможность — это, конечно, полное владение цветом выводимых элементов. Если фигуры Лиссажу и розетки, похожие на узоры на банкнотах, красивы и в черно-белом варианте, то эпи- и гипоциклоиды, прорисованные с разными параметрами разными цветами, красивы необыкновенно. При рисовании тора, например, можно синим цветом сделать поперечные полоски, зеленым — продольные, красный привязать к текущему радиусу и наслаждаться полученным монстром («Колечко дыма и дырка от бублика», «КТ» #339). На ленте Мебиуса, подбирая цвета, можно смоделировать главные ее сюрпризы — необычные результаты от разрезания вдоль средней линии и вдоль линии, отстоящей на треть ширины от края. Самое интересное — рисовать не только известные ранее кривые и поверхности, но и получать новые (некоторые из них я условно назвал пузырями, паутинами, одуванчиками).

Следующим важнейшим шагом в развитии всяких занимательностей стала возможность задания движения. Если запустить две точки летать по экрану в разных фазах и соединять их цветными линиями — получим эдакое непоседливое веерообразное облако. Можно заставить прыгать на экране радужную пружинку — попробуйте, получите удовольствие даже от продумывания алгоритма. В Сети есть масса скриптов, апплетов и GIF-анимаций на геометрические темы. Особенно бурное развитие получили эти забавы с появлением технологии Macromedia Flash. Вот (arbuz.uz/u_applets.html) апплет, позволяющий поиграть с каждым из семнадцати известных вариантов симметрии при замощении плоскости. После длительных поисков нашлась даже флэшка, моделирующая диск Бенхама (www.michaelbach.de/ot/col_benham/index.html, www.arbuz/gazeta_38.html ) — при вращении его черно-белая окраска дает цветные полосы (читал о нем лет 35 назад в «Науке и жизни»). Есть в Сети и заготовки (*.fla) разных геометрических узоров, позволяющие каждому реализовать свои математические фантазии.

Все вышеизложенное можно считать компьютерным развитием забав прежних, докомпьютерных. Но, хотя небольшому кругу теоретиков и ранее были известны множество Жюлиа и множество Мандельброта, только с появлением компьютеров началось победное шествие фракталов. Если задать в любом поисковике слово «фрактал», получим такое количество ссылок, что покажется, будто Сеть создана лишь для фракталов. Каждый уважающий себя программист непременно устраивает на своей страничке фрактальную галерею. И не только программист! Владимир Васнев из Анадыря выложил подборку восхитительных изображений, созданных известной программой Fractal Explorer (vasnyov.narod.ru). А недавно Владимир написал мне, что его фракталы будут использованы в оформлении местного Дворца культуры.

Фракталы не только фантастически, обворожительно красивы. Еще лет пятнадцать назад известный популяризатор науки Клиффорд Пиковер (Clifford Pickover) обнаружил фракталы, похожие на клетки живых организмов. Это дало толчок к изучению особых геометрических объектов, так называемых биоморфов, и даже к исследованию их размножения, подчиняющегося законам Моргана о расщеплении наследуемых признаков при скрещивании («КТ» ## 335, 401, 486).

Множество Мандельброта (классический фрактал) строится при помощи многократного возведения в квадрат комплексного числа. Но комплексные числа по формуле Муавра можно возводить в любую степень, в том числе дробную и отрицательную. При этом шипы и колючки неожиданно превращаются в цветочки и бабочки (arbuz.uz/y_muavr.html). Если же в цикле использовать тригонометрические функции или логарифм… приходится чуть ли не силком заставлять себя прекратить эти захватывающие опыты.

К фракталам примыкают аттракторы и репеллеры — таинственные порождения теории хаоса. Сложные аттракторы не обязательно задаются системой дифференциальных уравнений, как, например, бабочка Лоренца. Их может порождать и простейшая на первый взгляд зависимость (так называемое логистическое отображение) Х_нов = К · Х_стар · (1 – Х_стар), таящая в себе неожиданные чудеса.

Общеизвестны объекты вроде ковра Серпинского, снежинки Коха, «кривых дракона», а также более экзотические порождения рекурсии — так называемые L-деревья. Эти потрясающие рисунки обязаны своим появлением программированию и компьютерной визуализации результатов. Визуализация привнесла революционные идеи в методы контроля за различными процессами. График какого-либо многофакторного процесса может порождать цветной узор, позволяющий специалисту судить обо всех тонкостях процесса. Предпринимались также попытки различать узоры от разумного сигнала и белого шума. («Бульон из информации», «КТ» #367). Все это необычайно интересно и практически не требует ничего, кроме фантазии.

Главная функция Сети — доступ желающих к любым сведениям. Это важно и математикам — есть, например, энциклопедия последовательностей (стр. 34), где каждому обратившемуся робот поможет подобрать обобщенную формулу для исходных данных, укажет на дополнительные источники информации. Существуют многочисленные клубы любителей числа π, их страницы так насыщены материалом, будто все за последние тысячелетия человечество только тем и занималось, что уточняло это таинственное число. Если думаете, что про π всё давным-давно известно, — напрасно, то и дело появляются новые и новые результаты исследований, что вынуждает периодически обновлять и мою почти всеохватную «Зону π» на «Арбузе» (www.arbuz.uz).

Общение любителей математики в Сети позволяет им насладиться такими лакомствами, как золотое сечение, интересные числа, цифровые стихи, нумерология, биоритмы, совершенные и дружественные числа, числа Фибоначчи и Люка, треугольник Паскаля, «Ханойская башня», «Книга Перемен», «Игра 15», «История календаря». Плюс разнообразные геометрические, топологические и числовые забавы и масса красивых задач, обсуждаемых в форумах.

Популярная наука не ограничивается занимательной математикой. В онлайне много материалов по генетике, антропогенезу, о мышлении и этологии (науке о поведении животных, благодаря которой мы узнаем много интересного и о себе). Отыскиваются закономерности в таких новых явлениях, как общение в Сети и интернет-зависимость, появляются публикации по истории хайтека и рассказы о чудо-вычислителях и чудо-запоминателях. Палиндромы, флексагоны, гипотеза о причинах исчезновения Арала и еще много всяких любопытных тем выложено на «Арбузе», который стал победителем сетевого конкурса РОТОР 2004 в номинации «Наука и образование» (что лишь подтверждает сильную тягу людей к занимательной и популярной науке — и в Сети, и в жизни).