Теория хаоса + астрология = прогнозирование непредсказуемого

В этой статье я хотел бы представить некоторые новые подходы к прогнозированию рынка ценных бумаг, исследованием которых занимаюсь в последнее время. Пока исследования не доведены до конца, еще предстоит получить ответы на многие вопросы и провести множество проверок. Но уже первый взгляд показывает, что эти подходы весьма многообещающи для прогнозирования рынка ценных бумаг. Исследуемые методы опираются на сложную современную математическую теорию, поэтому я попытаюсь объяснить все необходимoe с максимальной ясностью, чтобы читатель сумел получить общее впечатление об идее.

Что мы прогнозируем?

Если кто-то станет утверждать, что может предсказать динамику изменения цен со стопроцентной точностью, — не верьте. Тому есть множество причин — как философского плана, так и сугубо математических. Да, действительно, используя различные методы прогнозирования, можно с той или иной степенью достоверности прогнозировать колебания рынка, и зачастую эти прогнозы сбываются. Но внезапно происходит нечто, и линия прогнозирования становится зеркальной противоположностью реальных цен или вдруг начинает вести себя совершенно неожиданно… Хуже всего, что мы не знаем, когда это самое «вдруг» может случиться. То есть, несмотря на прогресс наук, на наши знания о всевозможных процессах и наши умения, всегда остается открытой возможность вмешательства неизвестного фактора Х. Нравится нам это или нет, но не отменить это мы не в силах. Так что же — прогноз невозможен?

Как современная математика может помочь в этой ситуации

Я испробовал несколько различных подходов, пытаясь найти ответ на этот вопрос. Наилучшие результаты (по крайней мере, на сегодняшний день) дало применения вэйвлет-анализа и элементов теории хаоса. Их использование для анализа поведения рынка ценных бумаг — одно из «горячих» направлений современной прикладной науки. Исследования в этом направлении ведутся во многих университетах не случайно, так как «…рынки ценных бумаг являются нелинейными динамическими системами. Теория хаоса — это математический способ изучения подобных нелинейных динамических систем… Рынок ценных бумаг считается себе подобной (автомодельной) системой, в том смысле, что отдельные ее части сходны с целым. Другой пример автомодельной системы в математике — фракталы. Можно ли связать рынок ценных бумаг с фрактальной моделью? А почему бы и нет? Если отслеживать рынок ежемесячно, еженедельно, ежедневно, а также по гистограммам в течение каждого дня, то в движении рыночных цен можно увидеть фрактальную структуру» (отрывок из курсовой работы одного из студентов университета Дьюк; Manus J. Donahue III, www.duke.edu/~mjd/chaos/chaosh.html).

Но использовать идею фракталов для подобного прогнозирования оказалось непросто. Одним из главных стал вопрос о том, что же, собственно говоря, мы сможем предсказать таким образом. Рынок ценных бумаг и динамика его изменения — сложный процесс, имеющий много различных аспектов. И в зависимости от того, под каким углом мы на него смотрим, меняется и набор фактических данных для анализа. Короче говоря, при попытке прогнозирования непосредственно цены появилось много оставшихся без ответа (пока?) вопросов и нерешенных задач.

Согласно тому же источнику (одному из наиболее посещаемых в Сети и популярно излагающему основы теории хаоса), «подобно фракталу, рынок ценных бумаг сильно зависит от начальных условий. Именно этот фактор делает динамику рыночных систем столь трудно предсказуемой. Поскольку мы не можем описать текущую ситуацию во всех деталях, то и не можем точно предсказать дальнейшее состояние системы».

Будучи полностью согласен с этим выводом, я стал по отдельности рассматривать различные аспекты активности рынка ценных бумаг и попытался применить к ним элементы теории хаоса. Оказалось, что, например, ситуация с волатильностью не столь удручающа: моменты, когда рынок «трясет», предсказать легче, чем тренд. И тогда в голову пришла следующая мысль: вместо того чтобы прогнозировать непосредственно цену, может быть, лучше исследовать саму способность рынка быть прогнозируемым? Другими словами, может быть, стоит изучить условия и временные интервалы, когда рынок ценных бумаг является сравнительно предсказуемым, и сравнить их с условиями и интервалами, когда теми же методами предсказывать рынок не удается (то есть сравнить с условиями, при которых колебания рынка хаотичны, а установленные ранее взаимосвязи больше не работают)? Эта идея кажется мне плодотворной. Я не еще закончил все намеченные исследования, но некоторыми интересными результатами хочу поделиться уже сейчас.

Эти результаты были получены при применении вэйвлет-анализа (вэйвлет-анализ выбран не случайно. По сравнению с фракталами он позволяет лучше локализовать процесс во времени).

«Вэйвлеты (wavelet) и вэйвлет-преобразование — это новый способ обработки и исследования сигналов, теория которого разработана совсем недавно, с появлением быстродействующих компьютеров, так как требует большого объема вычислений. Вэйвлет можно считать трехмерным спектром, где по оси X отложено время, по оси Y — частота, а по оси Z — амплитуда гармоники с данной частотой в данный момент времени. Обычно на двухмерной плоскости (на экране, на бумаге) ось Z отображают в виде градаций черного цвета. При этом черный цвет — максимальная амплитуда, а белый — минимальная. Тогда самые интересные места сразу видно по черным пятнам. Вэйвлет — это в дословном переводе «маленькая волна» (www.vibration.narod.ru ). Для большей наглядности, мы используем сине-красную палитру.

Посмотрите на диаграммы, где показано вэйвлет-преобразование для относительных колебаний цены. В качестве базового использовался комплексный вэйвлет Морлета. На рис. 1 представлена фазовая диаграмма вэйвлет-преобразования. Рис. 2 — это контур максимумов (maxima skeleton) для первой диаграммы. Рис. 4 — диаграмма плотности максимумов, полученных в расчетный период времени (будет использоваться в дальнейшем исследовании). Ось X в диаграммах 1—5 представляет собой ось времени, ось Y показывает периоды циклов (для рис. 1 и 2).

На рис. 1 изображен фазовый вэйвлет для индекса Доу-Джонса с марта по декабрь 2003 года. Что это дает обычному трейдеру с обычными математическими познаниями? Не много. Но прежде чем составить какое-либо суждение, давайте посмотрим на график иначе, в другом ракурсе. Этот другой ракурс — «контур максимумов» для индекса Доу-Джонса — показан на рис. 2.

Опускаю здесь математические подробности. Рядовому трейдеру достаточно знать, что вертикальные желтые кривые представляют собой те моменты, когда рынок ценных бумаг меняет структуру. Чем сильнее ветвится кривая, тем сложнее поведение рынка, так как в эти моменты «играет» множество циклов с маленькими периодами. Поэтому такие моменты (или точки) играют очень важную роль (фактически, каждая особая точка определяется совокупностью точек бифуркации, см. рис. 3).

Дальнейшее исследование концентрируется на некотором параметре, который описывает эти специальные точки. На рис. 4 показана диаграмма, полученная в результате вычислений длин вертикальных линий в пределах трехдневного диапазона. Чем больше этот параметр, тем длиннее желтая кривая и тем сложнее поведение рынка вокруг кривой.

Фиолетовые линии на этой диаграмме соответствуют желтым кривым предыдущей диаграммы (рис. 2). Высота фиолетовых и протяженность желтых линий взаимосвязаны. Я назвал эту диаграмму «диаграммой непредсказуемости». Мое предположение заключается в том, что области между «пиками» являются областями, где прогнозирование возможно, в то время как «пики» представляют собой области непредсказуемости. Это предположение необходимо проверить, однако ясно, что имеет смысл попытаться определить меру непредсказуемости («индекс непредсказуемости»).