Пи-клуб, питомник пижонов
АрхивБольшинство из нас будут удивлены, узнав, сколько людей интересуетется числом Пи.
Большинство из нас будут удивлены, узнав, сколько людей интересуетется числом p. В школе на нелюбимой многими геометрии мы уяснили, что это отношение длины окружности к диаметру, что ж тут может быть интересного? Но познакомившись поближе с этим виртуальным героем, мы будем удивлены еще больше, ибо история человечества предстанет нам как череда усилий величайших умов по уточнению знаков числа p и поисков алгоритмов для этого процесса.
Знакомство с загадочным числом предлагаю проводить в виде прогулок по виртуальному клубу, посвященному p. Что же это за клуб такой? Самый настоящий Пи-клуб (не путать с Пиквикским и клубом любителей пива, хотя членство в них допускается). Кто же является членом самого престижного клуба. Во-первых, конечно, все Петры Ильичи, Пал Иванычи, Пулаты Ибрагимовичи и Пелагеи Иннокентьевны плюс Пироговы, Пилюлькины, Пинхасовы и Писаренки плюс любители пикников с пирожными и пирожков с пивом — они зачисляются автоматически. Так же как и пианисты, пилигримы, писатели и прочие пигмеи, вопрос о пионерах и пиратах пока не решен. Ну и конечно, все, кто хоть раз проводил окружность и задумался о таинственном и непредсказуемом числе р.
В первом зале, естественно, само число p. Рассмотрите внимательно его первую тысячу знаков, проникнитесь поэзией этих цифр, ведь за ними стоят тени величайших мыслителей Древнего мира и Средневековья, Нового и настоящего времени.
p= 3.
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989
Зачем, спросит обыватель, нам столько знаков p, ведь известно, что для расчета полета на край нашей Галактики с точностью, равной диаметру протона, достаточно знать сорок знаков числа, а при расчете земной орбиты вокруг Солнца с точностью до миллиметра достаточно четырнадцати знаков? А уже в XVII веке были получены первые 34 знака. Трудно объяснить деловым людям, ожидающим непременную сиюминутную выгоду от каждого движения, что число p, как и простые числа, совершенные, дружественные, числа Мерсенна, — это вызов нашему интеллекту, волнующая загадка устройства мира, в конце концов, это очень интересно. (Простые числа в последнее время находят практическое применение — на их основе генерируются криптопротоколы для защиты информации.) Какое бы сочетание цифр мы бы ни выдумали — оно непременно встретится в знаках числа p, то есть можно ожидать появление любой наперед заданной последовательности цифр. Например, самые распространенные расстановки встретились в следующих по счету цифрах:
01234567891 — начиная с 26852899245-й
01234567891 — с 41952536161-й
01234567891 — с 99972955571-й
01234567891 — с 102081851717-й
01234567891 — с 171257652369-й
01234567890 — с 53217681704-й
01234567890 — с 148425641592-й
27182818284 (это цифры числа е) — с 45111908393-й. (Была такая шутка: ученые нашли последнее число в записи p— им оказалось число е, почти попали.)
Попробуйте поискать в первых десяти тысячах знаков p свой телефон или дату рождения; если не получится — ищите в ста тысячах знаков.
И еще: в числе 1/p начиная с 55172085586-го знака идут 3333333333333; не правда ли, удивительно? Да что ходить далеко: даже в первой тысяче есть неожиданности — пять девяток подряд.
Есть гипотезы, предполагающие, что в числе p скрыта любая информация, которая когда-либо была или будет доступна людям. В том числе и различные предсказания — надо лишь найти их и расшифровать; имея под рукой компьютер — это не составит большого труда. Хочется только напомнить, что один исследователь в ответ на сообщения о наличии в Библии зашифрованных предсказаний сказал, что он с помощью программы нашел в Библии предсказание о том, что в ней нет никаких предсказаний. Но это вовсе не значит, что мы должны прекратить наши опыты с p.
В следующем зале — история открытия и уточнения числа p. В нем можно ознакомиться с интригующими подробностями уточнения p, начиная от 16/9= 3,1604 у египтян, 22/7 =3,1428 у греков, =3,162 у индусов, 355/113=3,14159 у китайцев, и до астрономической точности нашего времени.
Обозначение числа p происходит от греческого слова perijerio («окружность»). Впервые это обозначение использовал в 1706 году английский математик У. Джонс, но общепринятым оно стало после того, как его (начиная с 1736 года) стал систематически употреблять Леонард Эйлер. В конце XVIII века И. Ламберт и А. Лежандр установили, что p — иррациональное число, а в 1882 году Ф. Лидерман доказал, что оно трансцендентное, то есть не может удовлетворять никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами.
На протяжении всей истории изучения числа p, вплоть до наших дней, велась своеобразная погоня за десятичными знаками этого числа. Леонардо Фибоначчи около 1220 года определил три первых точных десятичных знака числа p. В XVI веке Андриан Антонис определил шесть знаков. Франсуа Виет (подобно Архимеду), вычисляя периметры вписанного и описанного 322216-угольников, получил девять точных десятичных знаков. Андриан ван Ромен таким же способом получил пятнадцать десятичных знаков, вычисляя периметры 1073741824-угольников. Лудольф Ван Кёлен, вычисляя периметры 32512254720-угольников, получил двадцать десятичных знаков. Авраам Шарп получил 72 десятичных знака числа p. В 1844 году З. Дазе вычисляет двести знаков после запятой числа p, в 1847 году Т. Клаузен получает 248 знаков, в1853-м Рихтер вычисляет 330 знаков, в том же 1853 году 440 знаков получает З. Дазе и 513 знаков — У. Шенкс.
С появлением компьютеров темпы возросли:
1949 год — 2037 десятичных знаков (Джон фон Нейман, ENIAC),
1958 год — 10000 десятичных знаков (Ф. Женюи, IBM-704),
1961 год — 100000 десятичных знаков (Д. Шенкс, IBM-7090),
1973 год — 10000000 десятичных знаков (Ж. Гийу, М. Буйе, CDC-7600),
1986 год — 29360000 десятичных знаков (Д. Бейли, Cray-2),
1987 год — 134217000 десятичных знаков (Т. Канада, NEC SX2),
1989 год — 1011196691 десятичный знак (Д. Чудновский, Г. Чудновский, Cray-2+IBM-3040).
Они же добились в 1991 году 2260000000 знаков, а в 1994 году — 4044000000 знаков. Дальнейшие рекорды принадлежат японцу Тамуре Канада: в 1995 году 4294967286 знаков, в 1997-м — 51539600000, и последний на сегодня рекорд — 206158430000 знаков. Суперкомпьютер (проект HINTS — High-performance Numerical Tools & Software для сверхмощных научных и инженерных вычислений, www.hints.org/HINTSw.html) в сентябре 1999 года работал 37 часов 21 минуту 4 секунды, используя 865 Гбайт памяти для основной задачи, и 46 часов и 816 Гбайт для вспомогательной оптимизации вычислений.
Следующий зал посвящен методам вычислений p. Начиная с Архимеда математики вписывали в круг правильный многоугольник и находили отношение периметра к радиусу. Например, в первой половине XV века в обсерватории Улугбека, что близ Самарканда, астроном и математик ал-Каши вычислил число p с шестнадцатью десятичными знаками. Он сделал 27 удвоений числа сторон многоугольников и дошел до многоугольника, имеющего 3*228 углов. Спустя полтора столетия Франсуа Виет нашел число p только с девятью правильными десятичными знаками, сделав шестнадцать удвоений числа сторон многоугольников. Но при этом Виет первым заметил, что число p можно отыскать, используя пределы некоторых рядов. Это открытие имело огромное значение, так как позволило вычислять p с какой угодно точностью. Однако только через 250 лет после ал-Каши его результат был превзойден.
Так, Г. Лейбниц получил в 1674 году ряд p/4=1–1/3+1/5–1/7+1/9–1/11…
Не поленитесь — набросайте программу, просуммируйте ряд и проверьте p. Или по формуле, связывающей сторону многоугольника с удвоенным числом сторон со стороной исходного многоугольника, уточняя отношение периметра к диаметру.
В Сети много страниц, посвященных вычислению p, отметим лишь, что на www.cs.unb.ca/~alopez-o/math-faq/mathtext/node12.html лежит программа, написанная Диком Винтером (Dik T. Winter at CWI) на Си всего 160 символами, но вычисляющая 800 знаков p!
int a=10000,b,c=2800,d,e,f[2801],g;main(){for(;b-c;)f[b++]=a/5;
for(;d=0,g=c*2;c-=14,printf(«%.4d»,e+d/a),e=d%a)for(b=c;d+=f[b]*a,
f[b]=d%—g,d/=g—,—b;d*=b);b);}
На этом вступительная часть знакомства с p, вероятно, уже известная любителям математики, заканчивается, и начинаются изысканные угощения для настоящих ценителей.
К известным методам уточнения p (подбором деления пар чисел, вписывания в круг многоугольника и вычисления сумм рядов) во второй половине ушедшего века добавились еще три, которые можно назвать экспериментальными. Первый — так называемый «метод иглы Бюффона». В нем на разлинованную равноудаленными прямыми плоскость произвольно бросается игла, длина которой равна половине расстояния между соседними прямыми (так что игла либо не пересекает прямые, либо пересекает ровно одну при каждом бросании). Можно доказать, что отношение числа пересечений иглы с какой-нибудь линией к общему числу бросаний стремится к p при увеличении числа бросаний до бесконечности. Нужно сделать очень много испытаний, чтобы получить более или менее приличную точность приближения полученной дроби к p, а кроме того, при эксперименте надо внимательно следить, чтобы бросание иглы было «равновероятным»: метод иглы Бюффона существенным образом базируется на методах теории вероятностей. Из уважения к читателям и чтобы не лишать их прекрасных мгновений творчества приводить текст программы не будем. Неужели не таинство: бросаем на экране случайным образом ориентированный отрезок, проверяем — не пересек ли горизонтальные линии, все это в цикле, накапливаем статистику и убеждаемся (или не убеждаемся) в правильности общеизвестных цифр любимого числа.
Второй метод, придуманный Г. А. Гальпериным и называемый p-биллиардом, основан на оригинальной модели. При столкновении двух шаров, меньший из которых находится между большим и стенкой, и больший движется к стенке, число соударений шаров позволяет вычислить p со сколь угодно большой наперед заданной точностью. Надо только запустить процесс (можно и на компьютере) и посчитать число соударений. Подробное описание метода с обоснованием его смотрите на phys.web.ru/db/ msg.html?mid=1161679&uri=pi.html.
Для третьего метода воспользуемся известным предположением теории чисел: вероятность, что два числа взаимно просты, равна 6/p2. Взаимно простыми называются числа, не имеющие общих делителей (для строгости обычно добавляют «кроме единицы»). Какой же алгоритм наших действий? Берем два случайных числа, находим делители и сравниваем их. Повторяя процесс в цикле, вычисляем долю шагов цикла (от общего числа шагов), при которых числа не имели общих делителей. Разделив 6 на эту долю и извлеча (есть такое слово?) квадратный корень из частного, получим искомое значение p.
К новым экзотическим методам относится и эмпирическая формула индийского математика Раманужана (Ramanujan), предложенная им в 1910 году:
Каждый шаг итерации при использовании этого алгоритма дает восемь правильных цифр в разложении p, что позволило Госперу (Gosper) в 1985 году получить 17 миллионов знаков p.
Для тех, кто испытывает наслаждение от прикосновения к клавиатуре, есть красивая этюдная задача: найти два наибольших числа, дающих при делении друг на друга наилучшее приближение к p. Решая задачу в лоб, можно найти, что частное от деления 5 419 351 на 1 725 033 отличается от известного значения p всего на 2,53130849614536*10–14, и это предел машинного представления чисел с двойной точностью — тип double в Visual Basic. Мой знакомый, используя головоломные ухищрения, обошел эти ограничения и нашел, что 411 557 987, деленное на 131 002 976, дает 17 правильных знаков p. Кто следующий?
Устали? Отвлечемся от вычислений. И подумаем, как легче запомнить значение p? Это можно сделать, например, с помощью старинного двустишья. Оно написано по правилам старой русской орфографии, предписывавшим после согласной в конце слова обязательно ставить мягкий или твердый знак. Вот оно, это двустишие:
Кто и шутя, и скоро пожелаетъ
«Пи» узнать число — ужъ знаетъ.
Количество букв в каждом слове равно соответствующей цифре числа p, проверьте! Первую тройку, естественно, отделите точкой.
А почему, собственно, мы должны пользоваться дореволюционными стихами? Известна также фраза «это я знаю и помню прекрасно», но хотелось бы побольше знаков (вдруг придется лететь через Галактику), и с рифмой. Ведь это же не сложно, написать такое стихотворение! Займитесь на досуге и присылайте, ваши шедевры будут размещены в клубе, прославитесь.
А вот (www.go2net.com/useless/ useless/pi.html) варианты на английском: «How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics!», перевод, правда, в педагогических целях лучше не приводить. И еще:
Now
I even I
Would celebrate
In rhymes unapt
The great immortal Syracusan
Rivaled nevermore
Who in his wondrous lore
Passed on before
Gave men his guidance
How to circles mensurate
А вот созвучное ему (тоже про Сиракузы речь идет) стихотворение С. Боброва (mathem-poem.narod.ru/nach/chisla/3cif.htm) — не мнемоническое, но тоже с запоминанием цифр числа p:
Про число p — 3,1415926
Гордый Рим трубил победу
Над твердыней Сиракуз;
Но трудами Архимеда
Много больше я горжусь.
Надо нынче нам заняться,
Оказать старинке честь,
Чтобы нам не ошибаться,
Чтоб окружность верно счесть,
Надо только постараться
И запомнить все как есть
Три — четырнадцать —
пятнадцать — девяносто два и шесть!
И еще стихотворение с присутствием p, наверняка известное читателям, — из Алисы в переводе Б. Заходера:
Математик и Козлик
Делили пирог.
Козлик скромно сказал:
— Раздели его вдоль!
— Тривиально! — сказал Математик.
— Позволь,
Я уж лучше
Его разделю поперек!
— Первым он ухватил
Первый кус пирога.
Но не плачьте,
Был тут же наказан порок:
«Пи» досталось ему
(А какой в этом прок?!).
А Козленку…
Козленку достались
Рога!
Лежит этот стишок на www.weekend.ru/print.cfm?publication=4444, прекрасной странице, посвященной p. Там мы узнаем, например, что на www. hut.fi/~mnippula/votepi.html проводилось голосование на тему: чему должно быть равно число p в будущем? Большинством голосов решено, что p=42. Вот так полагаться на большинство.
Очаровательная Ева Андерссон из Калифорнии, девушка с зеленым лицом и рожками-антенами (у многих ли хватит смелости и чувства юмора выложить себя в таком виде, смотрите www. ugcs.caltech.edu/~eveander/index.html), разработала викторину, посвященную числу p. Если вы не сможете ответить на 25 тестов, то получите познавательные ответы на них.
А вот что говорит рекордсмен мира по запоминанию числа p Хидеаки Томойори (его рекорд 40 тысяч знаков): «Конечно, мне не удалось бы заучить такое огромное, иррациональное число простой зубрежкой. Вместо этого я разбил его на короткие последовательности по десять цифр в каждой. Затем я проассоциировал звук каждого числа с конкретным словом. А уже из слов образовал предложения, которые смог запомнить как конкретные образы. Например, для каждой группы из десяти цифр я сначала придумываю ключевое слово так, что это ключевое слово напоминает мне образ и все предложение, а затем уже звуки этого предложения напоминают мне точную последовательность чисел».
Рамеш Махадеван, запомнивший 30 тысяч знаков p: «Я получил многие свои знания от Ведической математики, я могу показать вам книги, которые использую. Поэмы на санскрите очень интересны. Одно и то же стихотворение можно интерпретировать как восхваление Шивы и Кришны и одновременно как математическую формулу. Там есть приближение p до тридцать восьмого знака. Есть решение квадратного уравнения. Сейчас нашли там знания на уровне высшей школы в Индии».
Надеюсь, вы отдохнули, — возвращаемся к цифрам p. Если вдруг возникнет подозрение, что какие-то цифры в разложении p встречаются чаще, а какие-то реже, имейте в виду, что в первых 200 млрд. десятичных знаков p цифры встречались с такой частотой:
0 — 20000030841 раз;
1 — 19999914711;
2 — 20000136978;
3 — 20000069393
4 — 19999921691;
5 — 19999917053;
6 — 19999881515;
7 — 19999967594
8 — 20000291044;
9 — 19999869180.
Поразмышляйте об этом.
В каждом зале клуба на стенах висят невероятные картины. Например, полученная со страницы www.algonet.se/ ~eliasb/pi/binpi.html, посвященной представлению цифр числа p в двоичной форме. Рассмотрите ее, попытайтесь увидеть, что в ней зашифровано природой [1].
А эта картина получена движением точки в зависимости от символа двоичного числа: 1 — поворот направо, 0 — налево [2].
«А что же мы? — вопрошал любимый поэт, — и мы не хуже многих». За несколько минут в безотказном старичке Turbo Pascal’e набросаем небольшой шедевр: ширина белых участков в каждом квадратике пропорциональна соответствующему числу из разложения нашего героя. Только недобрый человек или вконец измученный хлопотами сисадмин не увидят в этом коврике что-то волнующе красивое [5].
Перед завершением осмотра — три изюминки.
Первая — в виде предостережения: в штате Индиана в соответствии с законом число p равно 4, а не 3,1415. Подробности на smith.lvivnet.com/article.php?aid=1076.
Вторая — как выразить текущий год цифрами p, используя все математические действия. Есть решения для прошлого года (см. таблицу).
Попытайтесь улучшить результат, используя меньше цифр; и пора уже находить решения для 2003 года, присылайте варианты — это лучшее, что вы можете сделать для человечества.
Третья — знаете ли вы, какой праздник самый естественный, самый настоящий, не связанный с религиями, национальными, историческими политическими и прочими суетными делами? Это, конечно, день числа p, объединяющий всех людей, всех мыслящих существ Галактики и Вселенной, — 14 марта (3.14 в американской нотации; неизвестно, правда, как выглядит этот день в календарях других цивилизаций, но не стоит придираться — договоримся), не пропустите.
Ну вот и все. Присоединяйтесь. Для тех, кто пропустил день p, есть еще день приближенного p, — естественно, 22 июля. Не прозевайте. Осталась только закрытая комната с ненормативной лексикой, основанной на числе p. Поэтому, кстати, пираты и пионеры, злоупотребляющие ею, в клуб не принимаются.
Сам клуб, а также десять тысяч, сто тысяч знаков p, статьи с алгоритмами и результатами вычисления p, многочисленные занимательные сведения о нем и ссылки на ресурсы Сети найдете на arbuz.uzpak.uz/x_pi.html.
Рассказы о чудо-запоминателях (и не только) расположены на страничке известного читателям «Компьютерры» Олега Степанова users.lk.net/~stepanov.
