Математика - прямо по курсу

Так уж вышло, что я получил от Евгения Козловского на тестирование и рецензирование "коробочный" обучающий CD - два учебника, справочник для поступающих в вузы и, конечно же, сам компакт-диск. Название очень обязывающее: "Курс математики для школьников и абитуриентов", он выпущен солидной фирмой "КомпьюЛинк", свеженький…

Пока я с ним разбирался и осваивал, меня преследовало смутное ощущение, что я нахожусь на палубе корабля в штормовую погоду. Ни зги не видно, ситуация вокруг каждый раз подкидывает новые сюрпризы, "качаются светила над снастями". Самое главное - не было понятно, правильным ли курсом я двигаюсь и не надо ли резко взять лево руля. Но ничего - корабль выдержал штормягу, прямо по курсу оказалась земля, а я уселся описывать свои приключения, пытаясь подражать "Огороду" и стилю его автора.

Для начала я разделил свои впечатления на две части. В первую вошли мысли о математическом содержании, а вторую составили ощущения от компьютерного исполнения "Курса". Если их смешать - получается Molotoff cocktail, так что извините…

Математика курса

Увы, это пока еще не весь курс школьной математики. И даже не курс всей школьной алгебры. Это сравнительно большой кусок курса алгебры 10-11 классов, включающий в себя тригонометрические, показательные и логарифмические тождества, уравнения и неравенства. А всего в курсе, согласно аннотации, будет 27 автономных тем (из которых сейчас на CD есть только 7).

Надо сказать, что эти темы для компьютерного курса подходят просто превосходно: решение этих видов уравнений и неравенств является одной из самых сложных задач, которые школьник должен освоить для сдачи письменного экзамена в приличный вуз. И притом эти темы достаточно хорошо поддаются систематизации и алгоритмизации, так что фактически любой хороший преподаватель или репетитор сначала учит школьников некоему алгоритму, а затем сам выступает в роли компьютера, который исполняет "программу решения уравнения", написанную учеником, и отлавливает в ней ошибки.

При чтении книг-учебников, приложенных к курсу, мне не удалось отыскать ни одного серьезного ляпа или прокола, хотя я очень старался! Так что постепенно я согласился с автором (Л. Я. Боревским) в том, что его методика достигает поставленной цели в 100% случаев. А цель поставлена очень конкретно и четко: человек, освоивший этот курс, должен научиться решать любую задачу по данным темам.

Я, как прилежный ученик, начал "изучение" тем именно с чтения учебника и решения задач, а не с инсталляции CD-программы. К тому же эту самую программу я видел уже год назад, а вот учебного пособия у меня тогда не было.

Теперь пара слов по существу дела, иначе все мои дальнейшие комментарии будут пустым звуком. Рисунок 2

Здесь показана страница из книжки "Тригонометрия", а точнее, решение задачи 13.29. В решении хорошо видна стержневая идея этой методики - пошаговое решение, причем на каждом шаге определяется место, в котором мы находимся сейчас (строчка "тип"), и прокладывается курс к следующему такому месту (строчка "метод"). Таким образом, начальное "место" (в данном случае - уравнение) и ответ оказываются соединенными цепочкой равносильных преобразований, перемежаемых парами строк "тип" - "метод". Создается ощущение, что корабль ведет к цели опытная штурманская рука и никаких неприятностей быть не должно.

Правда, самый последний шаг немного выбивается из общей колеи - конкретный ответ берется почти с потолка, а в замечании рекомендуется "чуть-чуть подумать над рисунком единичной окружности". Можно было и с самого начала порекомендовать "чуть-чуть подумать над уравнением", но именно это и является камнем преткновения для многих абитуриентов. А впрочем, я зря придираюсь: возможно, добравшись до этого места в учебнике, человек наберется уже некоторого опыта и сам сможет правильно записать искомое множество решений. С другой стороны, в теме 11, целиком посвященной работе с единичной окружностью, таких сложных множеств вроде не встречается.

Но еще больший внутренний протест у меня вызывала необходимость следовать каким-то одним, заранее указанным курсом. Всю жизнь я сталкивался с многовариантностью хода решения в самых разных математических задачах, - а здесь впервые пришлось видеть столь жестко заданные рамки. То есть я вполне понимаю, что надо научить человека добираться до цели хотя бы одним способом, а уж затем пускать его в свободное плавание. Но единственное указание автора на возможность "свободного плавания" и наличие нескольких разных способов обнаружилось только в самом конце тригонометрического учебника, и это меня сильно огорчило. Воспользуюсь любимой метафорой Л. Я. Боревского - он сравнивает решение задачи с движением по запутанному лабиринту. Увы, далеко не всегда первый шаг в лабиринте бывает шагом в правильном направлении. Очень часто приходится проделать несколько шагов, наткнуться на тупик, вернуться в начало и идти в другую сторону. Таким действиям тоже надо учиться и учить… Традиционные учебники и задачники в чем-то лучше, потому что отсутствие в них строгой алгоритмизации оборачивается простором для самостоятельных размышлений над задачей.

Реализация на CD

Любопытство оказалось сильнее меня. Отложив книжку в сторону, я вставил в компьютер новый компакт и загрузил соответствующую программу. С огромным удовольствием прослушал вводную лекцию автора; кроме собственно пояснений к тому, как работать с диском, лекция содержит очень хорошие и полезные комментарии по изучению курса в целом. И даже сам тембр голоса произвел на меня неизгладимое впечатление, чем-то напомнив Кашпировского и Алана Чумака. А может, сказалась еще и соответственно подобранная музыка…

Читать теорию с экрана мне было уже не очень интересно - все то же самое я успел прочесть в учебнике. Поэтому я сразу перешел к решению задач контрольной работы. Может быть, зря. Просто я купился на текст, написанный на обложке коробки: "в отличие от большинства других обучающих программ, где решение задачи сводится к выбору правильного ответа из многих вариантов, "Курс Математики" предлагает Вам новый способ решения задач: на экране компьютера, вместе с компьютером, используя компьютер как терпеливого наставника-репетитора, который проконтролирует Ваши действия, подскажет, при необходимости, верный путь решения и даст теоретическую справку".

Итак, поехали. Первая задача - оценка "5". Ура! Во второй задаче я застрял на одном из этапов: не сразу удалось понять, чего именно от меня хотят в первую очередь - "использования формул половинного аргумента" или "использования формул двойного аргумента". Оказывается, что все уравнения по умолчанию упрощаются и преобразуются слева направо, даже если это не самый очевидный вариант. В итоге за вторую задачу я получил только "4,2".

Кстати, система оценок, принятая в "Курсе", довольно хитрая, и мне не сразу удалось понять ее до конца. Суть в том, что каждая задача разбита на несколько этапов, и успешное прохождение каждого из них дает "плюс единичку". Каждое использование подсказки, а также каждая ошибка в действиях дает "минус единичку". Если все этапы пройдены безошибочно - ставится пятерка, а если ошибки и штрафы - то итоговая оценка всегда будет между "2" и "5", причем определяется соотношением между числом плюсов и минусов. Например, если их поровну, то оценка будет "3,5", а если на 6 плюсов придется 12 минусов - вы получите за задачу чистую "тройку". Я никогда не встречал ни одного экзаменатора, который бы поставил "тройку" при 12 ошибках, но для компьютерного обучающего курса такой подход мне кажется вполне разумным. Тем более что в итоге все ошибки устранены, а ученик добрался до правильного ответа.

Возвращаюсь к своей контрольной. Третью и четвертую задачу (из пяти) я решил без особых проблем (точных оценок я уже не помню, но у меня было всего по одной ошибке в каждой из задач, так что средний балл был выше "4,5"). Зато с последней задачей я снова намучался. Вот эта задача:

То, что "типом" здесь является "система уравнений", понятно и полному неучу. Дальше надо было определить правильный метод решения - то есть ткнуть мышкой в нужное место списка предлагаемых на выбор методов. С упорством, достойным лучшего применения, я несколько раз тыкал в "преобразование суммы в произведение". Для тех, кто подзабыл тригонометрию, поясняю: если использовать формулу cos2x + cos2y = 2cos(x+y)cos(x-y), то затем можно просто подставить известное значение x-y, и в результате получится простейшее тригонометрическое уравнение для cos(x+y). Решив его, я получил бы линейную систему уравнений относительно x и y, из которой найти оба неизвестных - пара пустяков. Во всяком случае, именно такой путь в этом лабиринте мне показался ведущим к выходу.

Но после того, как я схватил несколько штрафных баллов, пришлось призадуматься. Не найдя в списке методов ничего достойного, я полез в теорию - и там обнаружил, что автор начинает рассказ о методах решения систем с метода подстановки. Конечно же! Ткнул в "подстановку", далее еще несколько раз удачно миновал подводные камешки и получил ответ. Увы, оценка всего-навсего "3,666". В итоге за контрольную я получил даже не "5-", а всего лишь "4+", что меня сильно расстроило: я почему-то считал, что если я умею решать эти задачи на бумаге, то и с компьютером у меня тоже должно все получиться. Оказалось, что это, мягко говоря, не так.

В дальнейшем я, конечно, прорешал еще несколько контрольных на разные темы и наконец сумел сделать основной вывод: решение задач в этом курсе с помощью компьютера - занятие не для слабонервных. К звуковым и текстовым комментариям типа "оч-ч-чень хорошо" и "давно бы так" еще можно кое-как привыкнуть. Но постоянная необходимость угадывать, какого именно шага от тебя ждут в данный момент, по-моему, способна лишить уверенности в своих силах даже самого толкового абитуриента. Можно, конечно, отнестись к этому философски и не обращать внимания на выставляемые оценки, но тогда какой в них смысл?

Вот еще только один пример. Решаю логарифмическое уравнение - что-то совсем простое, типа lgx = 1. Нажимаю кнопочку "потенцирование". Ура, сработало - появляется следующая строка "x = 10". В следующей задаче мне попадается уравнение 10^x = 10, и я немедленно тыкаю в меню "логарифмирование". Штраф! За что, почему? Начинаю разбираться: оказывается надо было сначала нажать на кнопку "a¹=a", после этого уравнение заменяется на 10^x = 10¹", а уже его любезно разрешается прологарифмировать. Честно говоря, ничего, кроме досады, такая негибкость у меня не вызывает. Неужели нельзя было продумать организацию решения задач так, чтобы не штрафовать решателя, двинувшегося по лабиринту в нужную сторону, но либо слишком быстро, либо по параллельной дорожке? Наверное, можно было для этих случаев вставить простенькую подсказочку типа "не торопись!" или "это хорошо, но поищи другой способ"… Авторы же хотят научить, а не отбить охоту учиться!

А теперь главное отличие компьютерного тренинга от самостоятельного решения задач (пусть даже по тому же курсу): работа с этим CD дает знание нужных методов, но не дает нужных навыков. Я утверждаю это с полной уверенностью в своей правоте, поскольку уже проверил это на учениках. С ними происходит примерно вот что: прорешав пару серий задач на компьютере и усвоив всю теорию, они начинают делать ошибки в тех местах, которые компьютер "проскакивает". Например, в аккуратном выписывании систем и совокупностей уравнений, в решении квадратных уравнений и неравенств, в алгебраических преобразованиях. Иначе говоря, ощущение, что "раз я получил пятерку у компьютера, то я все уже умею", - это очень опасное заблуждение. И именно от него надо предостеречь всех тех, кто решит воспользоваться этим курсом для самостоятельного изучения школьной математики. Лучше всего сначала научиться решать задачи "у компьютера", а потом еще раз (или даже не один раз) прорешать те же самые задачи по старинке, ручкой в тетрадке.

Итого: за математическую составляющую "Курса Математики" я могу поставить твердую "пятерку с минусом", а вот интерактивная часть, на мой взгляд, еще очень и очень сырая. Ее оценка - примерно "три с плюсом". Но и это неплохо - полпути от "двойки" до "пятерки" авторы уже прошли. Так что мне осталось лишь пожелать им не останавливаться на достигнутом, выпускать побольше новых и хороших обучающих CD, но и не забывать про совершенствование уже выпущенных.