Вейвлеты в астрофизике и геофизике

Читатель уже познакомился с новым мощным методом анализа сигналов - вейвлет-анализом. Идеи, близкие к концепции вейвлет-анализа, выдвигались и до появления вейвлетов как таковых. Так, в лаборатории физической гидродинамики Института механики сплошных сред (Пермь) еще с конца 70-х годов по предложению Валерия Зимина разрабатывались модели турбулентности, основанные на иерархических системах самоподобных разномасштабных функций.

Неудивительно, что эта лаборатория стала пионером использования вейвлет-методов в России. Три года назад именно здесь совместно с сотрудниками лаборатории электромагнетизма и магнитной гидродинамики НИВЦ МГУ началось применение вейвлетов к задачам анализа пространственных и временных структур в астрофизике и геофизике. Некоторые результаты этой работы, которые, на наш взгляд, хорошо иллюстрируют возможности вейвлетов, представлены ниже.

Солнечные пятна и солнечные циклы

О том, что на Солнце есть пятна, знает каждый школьник. О том, что число этих пятен колеблется и достигает максимума примерно каждые 11 лет, знают почти все. Менее известен факт, что число пятен связано с интенсивностью магнитного поля Солнца. Эту связь поясняет рис. 1. Магнитное поле Солнца имеет полоидальный компонент (силовые линии выходят на поверхность вблизи одного полюса и входят внутрь вблизи другого) и более мощную азимутальную составляющую - ее силовые линии образуют замкнутые кольца внутри конвективной оболочки Солнца. Когда напряженность магнитного поля растет, на этих магнитных линиях возникают гигантские петли, выходящие за пределы конвективной оболочки. В местах выхода магнитное поле направлено вертикально и подавляет конвективное течение, приносящее горячую плазму из недр Солнца. В результате температура оказывается ниже, чем на остальной поверхности, так что эта область видна как темное пятно. Чем сильнее магнитное поле, тем больше петель и тем больше пятен видно на поверхности Солнца.

Рисунок 1.

Можно сказать, что специалистам по космическим магнитным полям крупно повезло. Связь пятен с магнитными полями стала понятна не так давно, но само существование пятен на Солнце в свое время так взволновало человечество, что астрономы начали вести систематический подсчет этих пятен практически с того момента, как Галилей построил первый телескоп (конечно, иногда солнечные пятна наблюдали невооруженным глазом и раньше).

Записывать среднемесячное количество солнечных пятен начал еще Галилей в феврале 1610 года, а с октября 1611 года наблюдения становятся довольно регулярными. В середине XVII века в мониторинг солнечных пятен внес большой вклад французский король-солнце Людовик XIV, который всемилостивейше повелеть соизволил основать Парижскую обсерваторию и проводить на ней ежедневные наблюдения солнечных пятен. С 1660-го по 1719 год эта программа работала, что называется, на полную катушку. В начале XVIII века король-солнце умер, а в 1719 году умер Ля Ир - последний из наблюдателей трех поколений, развивавших и поддерживавших эту программу. Во Франции начал зреть кризис, вылившийся в революцию, и интересы астрономов переключились на другие темы. К счастью, эстафетную палочку, выпавшую из рук французских астрономов, подхватили англичане, но прошло еще около ста лет, прежде чем наблюдения стали столь же дотошными и систематическими, что и во времена расцвета французской астрономической школы.

Рисунок 2.

Так или иначе, весь этот огромный наблюдательный материал удалось вернуть к жизни, собрать из рабочих журналов исследователей, перевести на язык современной науки и получить ряд данных, который не имеет в астрономии аналогов по регулярности и продолжительности наблюдений. Отметим, что эта реконструкция во многом стала возможной благодаря героическим усилиям мадам Элизабет Нем-Риб из той же Парижской обсерватории, в которой были получены исходные наблюдения. График изменения численности солнечных пятен уже столетия привлекает внимание ученых, так как доказано, что многие процессы на Земле связаны с уровнем солнечной активности. Первое, что бросается в глаза при взгляде на график (рис. 2) солнечной активности, - это череда пиков, каждый из которых охватывает приблизительно 11 лет. Это и есть знаменитый одиннадцатилетний солнечный цикл, характеризующий работу солнечного динамо - магнитогидродинамического генератора поля. Можно, однако, заметить, что солнечная динамо-машина работает не "как часы" - амплитуда циклов непрерывно изменяется, а временами возникают сбои. Самый заметный сбой имел место в конце 17 - начале 18 веков, когда в течение почти пятидесяти лет пятен на Солнце практически не было. Этот период называют минимумом Маундера. Именно эту особую эпоху в жизни Солнца и позволили пронаблюдать усилия французских астрономов, а один из них, Пикар, совершил настоящий научный подвиг, в течение десяти лет аккуратно фиксируя полное отсутствие пятен.

Что нового могут дать вейвлеты в изучении записей о числе солнечных пятен, если учесть, что сотни людей уже анализировали этот сигнал самыми разными методами? Для ответа на этот вопрос обратимся к результатам работы Frick Р., Galyagin D., Hoyt D., Nesme-Ribes E., Shatten K., Sokoloff D., Zakharov V. "Wavelet analysis of solar activity recorded by sunsрot grouрs" (Astronomy and Astroрhysics, 1997, V.328, 670-681). Вейвлет-представление проектирует одномерный сигнал (который был функцией только времени) на плоскость время-частота и позволяет увидеть изменение во времени спектральных свойств сигнала. На вейвлет-плоскости (рис.3) одиннадцатилетнему циклу соответствует темная горизонтальная полоса. При этом идеально ровная горизонтальная полоса соответствовала бы чисто синусоидальному (гармоническому) колебанию. Мы видим, что кроме основного цикла, длительностью около одиннадцати лет, записи отмечают еще один - приблизительно со столетней периодичностью. Особенно хорошо это видно на интегральном вейвлет-спектре (рис. 4), который представляет собой сумму вейвлет-коэффициентов с данным периодом по всем моментам времени. Конечно, эти закономерности угадывались и при простом разглядывании рис. 2, но чем больше рисунок изучали до-вейвлетными методами - а их было великое множество, - тем больше предлагалось циклов с другой периодичностью. Все они оказались артефактами, то есть необоснованными показаниями методов, не очень хорошо приспособленных к рассматриваемой задаче. На этом же рисунке для сравнения показан и спектр Фурье того же сигнала, в котором одиннадцатилетний цикл выделяется на фоне сплошного частокола пиков.

Рисунок 3.

Вейвлет-анализ позволяет проследить, как меняется длительность номинального одиннадцатилетнего цикла со временем, показывая, что столетний цикл фиксирует периодические попытки механизма генерации солнечного магнитного поля дать сбой и свернуть с обычных одиннадцатилетних колебаний в новый эпизод типа минимума Маундера.

Можно увидеть, что Солнце уже после минимума Маундера дважды попыталось организовать новый глобальный минимум, - один раз очень ярко в начале XIX века, во время так называемого минимума Дальтона (как жаль, что тогда наблюдения были далеко не так полны, как во времена Пикара и Ла Ира!), второй раз, чуть заметно, на рубеже XX века, а теперь снова подходит время очередного сбоя.

Рисунок 4.

Вейвлеты позволили получитъ и неизвестную ранее количественную закономерностъ в формировании сбоев в работе солнечного динамо. На рис. 5 изображен график изменения длины солнечного цикла со временем, полученный путем оцифровки максимума в темной полосе, соответствующей на вейвлет-плоскости одиннадцатилетнему циклу. Вертикальными линиями отмечены известные наблюдателям периоды снижения солнечной активности. Результат оказался довольно неожиданным: все эти периоды совпали со спадающими участками на графике T(t).

Рисунок 5.

Причем чем выше было значение T перед началом очередного минимума, тем глубже был сам минимум. Это обстоятельство вкупе с имеющимся на сегодня значением периода солнечного цикла позволяет сделать вывод, что, хотя очередной сбой в солнечной активности и можно ожидать в начале следующего столетия, нового минимума Маундера случиться не должно.

Антропогенный разогрев атмосферы и потепление климата

Изучение минимума Маундера - это вовсе не академическая задача, важная только узким специалистам. Многие климатологи утверждают, что примерно в это же время на Земле происходило глобальное похолодание, вызывая чувствительные изменения климата: на каналах Бельгии и Голландии горожане катались на коньках (а теперь в этих каналах можно только утонуть), ледники в Альпах опускались гораздо ниже своей обычной границы и т. д.

Конечно, похолодание отражалось на сельском хозяйстве, и фермеры, продовольственные компании и правительства, заинтересованные в благосостоянии своих народов, озабочены тем, не случиться ли подобное похолодание снова. В наши дни, когда вместо похолодания мы наблюдаем общее потепление атмосферы, что многие ученые связывают с хозяйственной деятельностью человека и так называемым парниковым эффектом, в академической среде ведутся особенно острые дискуссии. Более того, до сих пор не доказано, что потепление носит именно глобальный характер.

Рисунок 6.

Расскажем об одном исследовании, выполненном нами совместно с Салли Балюнас и Вилли Сууном из Гарвардского астрофизического центра. Исследовании, которое не пытается положить конец спору о том, разогревается ли атмосфера в результате человеческой деятельности или нет, но, может быть, заставит осторожнее относится к интерпретации данных (Baliunas S., Frick Р., Sokoloff D., Soon W., Geoрhysical Research Letters, 1997, V.24, N.11, р.1351-1354). Нами был проведен вейвлет-анализ среднегодовых значений температуры в Центральной Англии. Обычно при анализе тенденций изменения климата пользуются глобальным индексом температуры, но он известен только начиная с середины 19 века. Анализируемый ряд температур (красная линия на рис. 6) известен с 1659 года и является самым длинным рядом региональных инструментальных наблюдений температуры, полученных на некотором удалении от больших городов. В каком-то смысле ряд эти данные столь же уникальны, как и данные о солнечной активности, о которых мы говорили выше.

Попытаемся ответить на два вопроса: присутствуют ли в вариациях температуры устойчивые периодические составляющие и действительно ли в нашем веке начался устойчивый рост среднегодовой температуры?

Оба вопроса вполне по зубам вейвлетам. Они достаточно эффективны для того, чтобы выделить (а потом и отфильтровать) вариации (не обязательно периодические) с определенными характерными временами. Ответ на первый вопрос представлен на том же рис. 6, что и сам ряд температур. Три линии дают результат вейвлет-фильтрации исходного ряда с различным граничным временным масштабом: голубая линия показывает результат удаления из исходного сигнала всех пульсаций длительностью меньше сорока лет, зеленая - меньше ста двадцати лет и синяя - двухсот лет. Видно, что первая кривая существенно отличается от двух других. Слабое различие в результатах применения 120- и 200-летних фильтров позволяет надеяться на то, что результат становится устойчивым. Об этом же свидетельствует и вейвлет-спектр, который показывает заметное ослабление энергии пульсаций на временных интервалах, превышающих сто лет. Теперь обратимся к синей линии, считая, что это и есть длинновременной тренд в изменениях среднегодовых температур.

Какие выводы можно сделать? Во-первых, повышение температуры, действительно наблюдающееся последнее столетие, началось уже в середине прошлого века и отнюдь не ускоряется в последние десятилетия. Этому повышению температуры предшествовал долгий период (примерно с 1750-го по 1860 год), представленный на графике горизонтальным участком - средняя температура удерживалась на одном уровне.

Однако перед этим был период, когда температура повышалась значительно интенсивнее, чем в настоящее время. Если бы Петр I на склоне лет предположил, что его реформаторская и военная активность повлекла за собой разогрев атмосферы, то его аргументы могли бы оказаться весомее, чем аргументы современных "зеленых".

Рисунок 7.

Поcле такой реплики необходимо подчеркнуть, что авторы ни в коей мере не хотят усомниться в значимости проблемы загрязнения окружающей среды и влияния человека на природу, но считают нужным показать, что аргументация в таком важном вопросе должна быть тем более корректной.

Теперь вернемся к первому из поставленных вопросов, связанному с наличием в вариациях температуры периодических составляющих. Этот вопрос интересен и потому, что среди обсуждаемых периодичностей присутствует и частота, близкая полному солнечному циклу, который включает два одиннадцатилетних, так как магнитное поле меняет свое направление по прошествии каждого цикла.

На рис. 7 красной линией показан вейвлет-спектр всего ряда температуры, показывающий, насколько существенны колебания с тем или иным периодом. Не смотря на то что вейвлет-спектр всегда значительно более гладкий, чем традиционный спектр Фурье, в нем все же выделяется большое число максимумов.

На этом же рисунке показаны еще два вейвлет-спектра, вычисленные отдельно для двух частей ряда: от начала наблюдений до 1850 года и с 1850 года до настоящего времени. При таком разбиении вторая часть совпадает с рядом данных для глобального индекса температуры.

Рисунок 8.

Анализ рисунка показывает, что после разбиения два фрагмента единого ряда данных обладают существенно различными спектральными свойствами (так, во втором спектре совершенно пропал максимум вблизи 23 лет). Достоинство вейвлет-представления в том и состоит, что можно увидеть, как колебания того или иного временного масштаба изменяются со временем.

На следующем рисунке (рис. 8) показан временной срез для временного масштаба 23,5 года. Этот масштаб выбран как самый близкий из пиков в вейвлет-спектре периоду солнечной активности (22 года для магнитного поля и 11 лет для солнечных пятен, поскольку солнечные пятна реагируют только на напряженность, но не на знак магнитного поля). Видно, что, хотя этот выделенный период не очень далек от периода солнечного магнитного поля, колебания очень не похожи друг на друга, и мы можем утверждать, что в температурных вариациях не видно прямого отражения цикла солнечной активности.

Газовые и магнитные рукава галактик

Вейвлеты могут быть полезны не только при анализе временных рядов, но и при изучении пространственных структур.

Примером может служить исследование структуры рукавов галактики NGC6946, выполненное нами совместно с Райнером Беком, сотрудником Института радиоастрономии общества имени Макса Планка (Бонн, Германия), и Анваром Шукуровым из Университета Ньюкасла (Англия). Взгляните на фотографии этой галактики, находящейся от нас на расстоянии семи мегапарсек. Первая фотография (рис. 9) выполнена в красном свете, и плотность изображения на ней соответствует плотности звезд. Вторая фотография (рис. 10) выполнена с помощью радиотелескопа в сантиметровом диапазоне, и плотность почернения на ней соответствует интенсивности поляризованного радиоизлучения, то есть некоторой степени напряженности магнитного поля (и плотности космических лучей). Теоретически на обеих картинках мы ожидаем увидеть несколько (скажем, два-три) спиральных образования, которые называются спиральными рукавами (поэтому такие галактики и называются спиральными), и нужно выяснить, совпадают ли магнитные и звездные рукава друг с другом.

Рисунок 9.Рисунок 10.

Если бы картинки были четкими, достаточно было бы просто внимательно их рассмотреть. Человеческий глаз является прекрасным инструментом для обработки информации, но в этом случае печальный опыт показывает, что разные специалисты по-разному выделяют рукава и не сходятся даже в оценке их числа.

Вейвлет-анализ в состоянии помочь объективно решить вопрос. Для этого мы проделали своеобразную томографию галактики, то есть разделили ее на концентрические кольца, кольца, в свою очередь, разделили на сектора и получили вейвлет-преобразования средних интенсивностей излучения из каждого сектора в данном кольце.

Рисунок 11.Рисунок 12.

Максимумы в вейвлет-спектрах выделяют рукава; число максимумов соответствует числу рукавов на данном радиусе; масштаб вейвлет-преобразования, соответствующий максимуму, характеризует ширину рукава, а величина максимума говорит о контрасте рукава с фоном. В итоге обнаружилась причина, сбивающая с толку при анализе фотографий невооруженным глазом: глаз при анализе изображения невольно следует за самыми контрастными деталями, а нам необходимо следить за масштабом, отвечающим за основную массу рукава.

Результаты выделения соответствующих структур показаны на следующей паре графиков, на которых по горизонтальной оси отложен логарифм расстояния от центра галактики до соответствующего кольца, а по вертикальной - угловое положение центра обнаруженного максимума. При этом вертикальная полоса соответствует масштабу максимума, то есть характеризует локальную ширину рукава. Логарифмическая шкала обусловлена тем, что теория предсказывает "логарифмическую спираль", которая при таком представлении должна дать прямую линию. И действительно, такое представление показывает, что лог-спиральные структуры есть в обоих изображениях галактики и они подобны друг другу, но при этом на картинках не два и не три рукава, а два нормальных рукава и один отросточек. Удается описать, как этот отросточек отцепляется от одного рукава и тянется к другому. Забавно, что мы тоже, вероятно, являемся обитателями подобного же отросточка в галактике Млечного пути, рукава Ориона, в котором находятся Солнце и Земля. Из сравнения рис. 11 и 12 можно сделать еще один важный вывод, состоящий в том, что магнитные рукава не попадают на звездные рукава, они сдвинуты друг относительно друга и величина углового сдвига дает близкие значения (порядка 60-70 градусов) для всех трех пар рукавов. По этому сдвигу можно судить о природе связи магнитных полей с рукавами галактики.

Практическая сторона проблемы

Бурное развитие вейвлет-анализа не случайно совпало с тотальным переходом научных вычислений с больших вычислительных машин на персональные компьютеры и рабочие станции. Действительно, вейвлет-преобразование требует значительного объема вычислений, который быстро растет с увеличением объема обрабатываемых данных. Впрочем, эти вычисления вполне можно было реализовать и на машинах типа БЭСМ или ЕС. Однако на стадии представления и интерпретации результатов возникли бы неразрешимые проблемы. Уже в случае обработки одномерного сигнала на выходе получается трехмерный массив данных (вейвлет-коэффициенты на плоскости время-частота), а при обработке многомерных массивов данных представление результатов не возможно без компьютеров, имеющих мощные графические возможности.

Мы уже упоминали о том, что использование вейвлет-методов в России началось в лаборатории гидродинамики Института механики сплошных сред Уральского отделения РАН. Произошло это не только потому, что здесь давно занимались близкими методами, но и потому, что уже с начала девяностых годов здесь пошли не типичным для России путем компьютеризации. Это было время, когда страна с большим энтузиазмом оснащалась персоналками и каждый научный сотрудник мечтал поставить на свой стол IBM-286 (желательно АТ!). А в институте начали целенаправлено создавать локальную сеть на базе Sun Workstation. Сеть строилась в трудное для российской науки время, и первые шаги стали возможными только благодаря поддержке ряда шведских фондов (особой благодарности заслуживает доктор Э. Аурелл и вычислительный центр Королевского технологического института Стокгольма). Сейчас сеть развивается, в частности, на средства грантов, полученных сотрудниками института. Один из них является грант американской программы CRDF для проведения совместных исследований российскими и американскими учеными. Он получен коллективом сотрудников Гарвард-Смитсонианского центра астрофизики (научный руководитель с американской стороны - С. Балюнас) и российскими участниками, о которых рассказано в статье. Развитие этой сети было поддержано специальным грантом Российского фонда фундаментальных исследований. Сегодня в составе сети современный сервер Sun Ultra Enterрrise 3000 и полтора десятка рабочих станций. В итоге мы оказались хорошо подготовленными к сотрудничеству с западными коллегами, так как, приезжая к ним, с удовольствием обнаруживали, что они работают в привычном нам Unix-окружении, а наши домашние компьютерные возможности не уступают тем, что мы находили у них.