Камень, падающий вверх,<BR>или объективна ли математика?

В начале периода отечественной истории, именуемого перестройкой, в печати периодически появлялись статьи романтиков рыночных преобразований. Их авторы, какое-то время маячившие на трибунах всяких там Советов и Дум, потом перебравшиеся в кабинеты исполнительной власти, а сейчас пребывающие кто в отставке, кто в закордонных бегах, а кто и в СИЗО (для незнакомых с терминологией поясню, что это не разновидность новейшего интерфейса, а Следственный ИЗОлятор), пытались доказать одну истину. Сводилась она к следующему: как нет советской или американской физики или географии, так не может быть и политической экономии социалистической и капиталистической.

Из этого положения они делали вывод: если Запад живет хорошо в условиях рынка, то надо и СССР ввести рынок вместо плана. Все после этого сразу будет хорошо.

Говоря так, романтики реформ совершали одну ошибку. Они принимали условие необходимое (то есть введение свободного обмена товаров и услуг вместо планово-принудительного грабежа), за условие достаточное. Результат их ошибки хорошо известен. Говорить о нем не стоит.

Причина же этой ошибки состояла в том, что человеку свойственно забывать, что даже самые общие законы действуют в разных условиях по-разному. Возьмем, к примеру, экономику. Георгий Кузнецов в "четырех колонках" несколько раз касался взаимосвязи между национальным характером (оптимизмом или пессимизмом соответственно американцев или россиян) и поведением экономики. Знаю по опыту (видел своими глазами!), что многие из тех, кто читали его рассуждения, принимали их за дискуссионные или, того хуже, за вызванные желанием в очередной раз похвалить американцев. А ведь описанное им явление не только существует в реалии, но и хорошо известно науке. Полнее всех это явление описал великий ученый Милтон Фридман (Milton Friedman), лауреат Нобелевской премии по экономики 1976 года, глава Чикагской монетаристской школы и вдохновитель экономического чуда, пережитого Америкой в правление президента Рейгана. Желающих отсылаю к его трудам - Capitalism and Freedom, 1962 (написан в соавторстве с женой, Rose D. Friedman); A Monetary History of the United States, 1867-1960 (1963); Studies in the Quantity Theory of Money, Ed. by M. Friedman, 1970; и Monetary Trends of the United States and the United Kingdom, 1981.

Явление это даже вычислимо и играет огромную роль в уравнениях макроэкономики. Именуется это явление инфляционным ожиданием и выражается следующим уравнением:

dE/dt=([C(t)-E(t)],

где

E - ожидаемый темп роста цен;
С - фактический темп роста цен;
t - время;
( - коэффициент инфляционных ожиданий.

Суть его такова. Если граждане какой-либо страны считают, что цены в магазинах завтра возрастут из-за роста издержек производства, а правительство начнет отнимать у них все большую и большую часть их достояния в виде инфляционного налога, то они начнут вести себя экономически разумно. Они будут покупать товары (повседневного спроса!) впрок. Они будут менять национальную валюту на твердую. Они отложат покупки товаров длительного пользования (дома, автомобили) на будущее. В результате все произойдет так, как думает большинство граждан. Издержки возрастут. Инфляция увеличится. Экономика начнет падать…

И наоборот: если большинство граждан ждет экономического роста, увеличивая при этом свое потребление, этот рост с достаточно высокой вероятностью наступает (если не вступают в действие иные механизмы, порождающие кризисы перепроизводства, завышение цен на недвижимость и все такое прочее).

Короче говоря, в отличие от физики, в которой брошенный камень всегда в конце концов летит вниз, в экономике "камень" иногда может падать вверх. Правда, в экономике имеет место среднее настроение масс. Если все настроены на депрессию, а вы полны оптимизма и покупаете, к примеру, дом или акции, то вы проиграете. Дом или акции завтра упадут в цене, а вы заплатили за них полную сумму, а то и залезли в долги…

Но зато если вы, в отличие от остальных, угадали или вычислили кризис или подъем, то тут вам предоставляется шанс разбогатеть (на падении экономики это можно сделать ничуть не хуже, чем на ее подъеме). Нужно только оказаться в своих прогнозах куда точнее окружающих.

Точно так же одни и те же законы природы и, что удивительнее, даже технологии, созданные людьми, ведут себя по-разному в гражданских и военных отраслях. Здесь я перехожу к своеобразной полемике с Максимом Отставновым, а именно с его статьей "О стойкости крипто, о надежности коммуникации и о "секретных теоремах высшей алгебры"", опубликованной в #226 "Компьютерры". Полемике "своеобразной" в силу того, что с очень многими вещами, описанными Отставновым, я полностью согласен, хотя формально они и являются критикой моей статьи, напечатанной в теме номера о криптографии, которую готовил сам Отставнов.

Прежде всего обращу внимание на утверждение Отставнова о том, что гражданские технологии криптографии на сегодняшний день являются более совершенными, чем аналогичные технологии военного применения. Отставнов аргументирует это более высоким объемом гражданского, нежели военного, рынка криптографии и, следовательно, более высокой оплатой труда специалистов. Эта аргументация представляется мне очень убедительной. Более того, я рискнул (подчеркиваю - рискнул!) расширить и усилить это утверждение.

Ввожу Первую гипотезу Ваннаха: Гражданские технологии почти всегда обладают более высоким качеством и более высоким соотношением качество/цена, чем технологии военные.

Доказательство. Впрочем, доказательства этой гипотезы, вероятно, не существует. Слишком уж широкого круга явлений и вопросов она касается. Но проиллюстрировать ее истинность можно следующим путем.

Война не является ни целью общества, ни его нормальным состоянием. (Это несмотря на то, что в истории человечества войны случались очень часто и, по-видимому, они неистребимы.) Следовательно, ресурсы, которые общество выделяет на военные цели, не могут превышать определенной, довольно небольшой величины. Чему эта величина равняется, неизвестно, но сейчас принято считать, что она составляет около 5% от ВНП. Превышение этой величины, длительная работа экономики в мобилизационном режиме ведет к печальным последствиям. Их удобнее изучать на примере бывшего СССР, но и бывшему оппоненту - Соединенным Штатам - в ходе "холодной войны" тоже досталось… Сравните роль США в мировой экономике в 1945 году и сейчас. В значительной мере это связано с отвлечением средств из гражданских инвестиций на военные цели и на военные НИОКР.

Следовательно, ограниченность военного рынка, вынуждает, во-первых, раскладывать расходы на научно-исследовательские и опытно-конструкторские работы (Research and Development, R&D - у супостата) на меньшее число серийных образцов, что ведет к их резкому удорожанию. Кроме того, ограниченны и сами расходы на военные НИОКР. Да еще и отмеченная Отставновым роль конкуренции, присутствующей в гражданском и отсутствующей в военном секторе экономики. (В военном секторе она, впрочем, тоже есть - между странами, но работает "с замедлением". Не каждый же день проигравшее государство стирается с лица Земли…) Все в совокупности и приводит к парадоксу, недавно отмеченному Евгением Козловским в комментариях к "Новостям". Если военные только ведут разработки систем, управляемых движением зрачка глаза, то фотоаппарат Canon EOS 5 с автоматической наводкой на резкость по предмету, на который смотрит глаз фотографа, давно продается в Duty Free по цене около шестисот "зеленых"…

Впрочем, это утверждение не абсолютно. В тех отраслях, где для военных нужд выпускается крупносерийная и массовая продукция стабильной номенклатуры, она не имеет себе равных по качеству и низкой стоимости. Смело рекомендую всем любителям охоты и туризма полевой комплект одежды Армии США, который можно купить (но очень редко!) за сотню долларов и который убережет вас и от дождя, и от мороза, и от насекомых. Если попадется армейский станковый рюкзак - берите, не пожалеете!

Тем, у кого есть карабин под патрон 7,62/51 (по американской классификации Winchester 308), рекомендую самый дешевый способ покупки боеприпасов к нему: вам нужно купить коробку армейских патронов стран НАТО или Латинской Америки, то есть любой страны, где были в ходу американские винтовки M14 или ей подобные. Такой патрон обойдется вам раза в три дешевле, чем аналогичный охотничий. (Правда, военные патроны выпускаются только с полнооболочечной пулей, пригодной лишь для некрупной дичи.) Но это достаточно частные случаи, обусловленные специфическим применением универсальных законов экономики массового производства.

На основе этого позволю сформулировать Вторую гипотезу Ваннаха: Наиболее эффективными военными технологиями являются гражданские технологии, приспособленные для военных целей, в тех случаях, когда это возможно.

В качестве иллюстрации приведу два примера. Перед началом операции "Desert Shield/Desert Storm" Армия США обнаружила, что ее коротковолновые рации тактического звена безнадежно устарели. Это и понятно - они были сконструированы во времена Корейской войны. Проектировать новые рации и пускать их в производство было и долго, и дорого. Проблему решили, купив в универмаге обычные рации универсального назначения. Результат был великолепен - ни одной поломки, и масса сбереженных денег налогоплательщиков.

У соперничавшей стороны тоже были достижения того же рода. Под градом крылатых ракет и "умных" бомб войска Ирака до последних минут военных действий сохраняли боевое управление. И это при том, что все военные узлы связи были разрушены авиацией в первые же часы. Связь осуществлялась через обычные гражданские цифровые АТС. Их способность к самовосстановлению и передаче информации по сетям в обход поврежденных участков была столь высока, что они смогли справиться с последствиями даже массированных ракетно-бомбовых ударов.

Конечно, эти примеры относятся к боевым действиям, ведущимся с применением лишь обычного оружия. Пойди в ход ядерные боеприпасы, а следовательно, появись нейтронная и гамма-радиации, электромагнитные импульсы и тому подобные прелести, результаты были бы совершенно иными. Кстати, лучше всего в условиях этих воздействий работают электронные лампы, проявившие высочайшую живучесть не только в звуковоспроизводящей аппаратуре hi-end, но и на борту стратегических бомбардировщиков…

Ну вот мы и подошли к маленькому "но". Пока этим "но" были поражающие факторы ядерного взрыва, так называемые спецвоздействия. Но ведь ими не исчерпывается специфика военных технологий. И напрасно журналисты иронизируют над генералами, закупавшими молотки по 1400 долларов. Если на любой предмет военного назначения оформить всю положенную документацию, то он будет стоить, учитывая крошечный объем выпуска, никак не меньше. И без документации не обойтись. Специфика службы… Если солдат может хоть что-то сделать не так, то он наверняка это сделает… Это неизбежно, и этого приходится избегать.

Но это мелочи. А вот главная, самая принципиальная особенность военных технологий (криптологических или оружейных) состоит в том, что они обслуживают государство. Государство же является монополистом в одном очень важном вопросе. Нет, это не эмиссия валюты и не монополия на средства связи. Это при желании можно обойти. Главная монополия государства - право на насилие. Государство присвоило себе право убивать, не будучи преступником. Создали было прецедент в Нюрнберге, ан нет. Инициаторы этнических чисток в Югославии гуляют на свободе, а во вступающей в НАТО Польше оправдали милиционеров, виновных в гибели бастующих шахтеров во времена "Солидарности". Они, дескать, всего лишь исполняли приказ. Приказ… Как там у Окуджавы: "А если что не так - не наше дело, как говорится, Родина велела…"

Вот в условиях этой вседозволенности и безнаказанности и будут работать те, кто работает на государство - безразлично какое - в военных отраслях.

Отравитель - это ужасно. Их осуждают все культуры. А вот нобелевский лауреат-химик Фриц Габер (Haber) предложил кайзеру использовать для борьбы с врагами Второго Рейха отравляющие газы, давно применяющиеся в красильном деле, - хлор, фосген… Не самые высокие технологии. Но лучше ли от этого стало тем солдатам первой мировой, кто хватил этих газов? Правда, потом патриот Второго Рейха Габер, у которого не все в порядке было с "пятым пунктом", не прижился в Рейхе Третьем. Ему пришлось бежать в Англию, чьих солдат он травил. Его там приютили, но Резерфорд, занимавшийся помощью ученым-беженцам, так и не подал Габеру руки…

Но это Резерфорд, честный и старомодный ученый. А там, где дело касается "государственных интересов", нормы морали отходят на второй план. Допустимым становится то, что в обычной жизни неприемлемо. И неприемлемо настолько, что обычный, нормальный человек об этом просто не задумывается.

Знал я одного талантливого инженера-оружейника. Он всегда говорил, что авантюрист - это человек, который имеет расширенное поле допуска на ошибку. Потом я узнал, что мой знакомец параллельно с инженерной деятельностью контактировал с какой-то иностранной разведкой, покушался на жизнь мужа своей любовницы и - суд этого доказать не смог, но разговоры такие ходили - даже утопил в ванне сынишку своей подруги, ставшего свидетелем их амурных забав. Такое вот поле допуска… Но то, что преступно для человека, очень, кстати, плохо кончившего, бывает вполне нормально для государства. Кто ответил за тех сгоревших в танках и транспортерах парней, которых послали в новогоднюю ночь 1995 года брать Грозный, пять тысяч против двенадцати тысяч боевиков (по правилам военной науки федеральных войск должно было быть раз в двенадцать больше…)? Кто ответил за сотню тысяч жизней мирных граждан чеченской республики Ичкерия? Никто! Вот то-то же…

А с государством все проще. И с криптологией тоже. Не знаю, существуют ли на самом деле секретные теоремы высшей алгебры, (говоря о них, я исходил из того же трепа, что и "cool" со стрихнином) или это ложный след, но вот такую картину утечки информации, которую вы считаете секретной, я представить легко могу.

Пусть вы владелец собственного дела, обменивающийся конфиденциальной информацией со своими подчиненными и партнерами. Пусть вы обзавелись программными средствами защиты информации и приняли меры к обеспечению физической защиты канала связи. Для этого вы наняли хорошего специалиста, отставного офицера ФАПСИ или АНБ. Вы предложили ему высокий оклад и думаете, что купили его лояльность. Все хорошо?

Лишь до тех пор, пока государство не заинтересуется вашим делом. Причины этого могут быть очень разные. Подумают, что вы утаиваете доходы, - а Налоговая полиция и Бюро внутренних доходов - организации любознательные. Или сочтут, что вы обладаете ноу-хау, которое государство хотело бы выкупить по справедливой, то есть им, государством, установленной цене, для своих, государства, нужд.

В этом случае события будут выглядеть примерно так. Вашего специалиста по криптографии и закрытию каналов как-то, совсем случайно, встретит его старинный дружок из спецслужб, который и поныне работает на государство. С улыбкой он попросит у вашего сотрудника или информацию, или услугу (например, установить электронного "жучка" на ваш компьютер). Попросит и получит ее. Почему?

Да потому, что в случае отказа его коллега напомнит вашему сотруднику о его старых проделках, которые безнаказанны лишь до той поры, пока их исполнитель верный слуга государства. Или напомнит, что сын вашего сотрудника, учащийся в университете, может вылететь оттуда за неуспеваемость и загреметь по призыву во Вьетнам или Чечню (где там боевые действия?). Сделать это очень легко - у профессоров тоже бывают грешки, известные спецслужбам, а призывные комиссии работают на государство. Так что ваши закрытые каналы, если вы доверяете любому человеку, закрыты лишь условно. Настолько, насколько интересы другого человека эквивалентны вашим. Причем, что интересно, угрызений совести не будет ни у одного из участников данной истории. Один - служит государству и считает нормальным ради государственных интересов принудить отдельного человека к тому, что ему делать совсем не хочется. Второй… Ну что же, не самоубийца же он, в конце-то концов!

Конечно, в военных технологиях, что бы там ни выдумывали эзотерические историки Третьего Рейха или сталинизма, упомянутые Отставновым, нет ничего СВЕРХъестественного. Технологии эти всего лишь ПРОТИВОестественны, ведь служат для убийства, для лишения людей свободы, короче говоря, нарушают золотое правило этики…

Правда, приведенный мною пример касается того, что Отставнов называет активной аналитикой, а я, по старинке, силовым добыванием. Применим ли он к существованию или несуществованию закрытых теорем высшей алгебры, существование которых я предположил не очень серьезно, на основе известных слухов, а Отставнов достаточно корректно опровергает. Короче говоря, может ли существовать метод криптоанализа, по могуществу полностью перекрывающий алгоритмы, применяемые в гражданской криптографии, и в то же время никому не известный. Мне кажется, что может. В криптоанализе я ничего не понимаю, но кое-что знаю о людях. Поэтому возникновение такого метода представляется мне следующим.

Как пишет Фил Зиммерманн в переведенной Отставновым статье, полноценный опыт взлома алгоритмов есть лишь у сотрудников АНБ и ФАПСИ. Следовательно, откроет новый алгоритм, скорее всего, кто-то из них. Как он будет себя вести? Да очень просто. Доложит начальству, получит премию и повышение в должности, и все будет шито-крыто. Станет ли он разглашать существование такого алгоритма "как можно более широкому кругу лиц". Да ни в жисть. В противном случае участи его и его семьи не позавидуешь…

Но пусть гипотетический алгоритм изобрел "вольный стрелок". Им, скорее всего, будет ушедший на вольные хлеба сотрудник научной оборонной организации. Как он поведет себя?

В шкуре такого человека, исходя из личного опыта, мне представить себя легче всего. Пусть он даже обладает приличными зарубежными связями. Все равно, такой изобретатель, скорее всего, обратится к государственным спецслужбам. Снимет трубку, позвонит знакомым в контрразведку и попросит "прикрыть" его. Потом позвонит в специализированный НИИ. Дальше начнется торговля. Контрразведчики будут присматривать за ней, не давая заломить слишком большие деньги, но в то же время и не давая совсем обидеть изобретателя. Государство хоть и убивает, но, как правило, не ведет себя как маньяк. Сумма гонорара будет куда больше, чем та премия, которую получит штатный служащий АНБ или ФАПСИ, но посторонние опять ни о чем не узнают.

Не узнает ничего "широкий круг лиц" и в том случае, если изобретатель позвонит не в контрразведку, а знакомому дипломату, одновременно являющемуся резидентом ГРУ или ЦРУ… Правда, тут изобретателю, вероятнее всего, придется остаток жизни проторчать на военной базе, как торчит на ней в Англии Виктор Суворов. Специфика предательства. Но тайное все равно останется тайным…

Но почему, упоминая об алгоритмах, я все время говорю "изобрел", в отличие от Отставнова, употребляющего термин "нашел"?

Частично здесь сказывается мое инженерское прошлое и породившие смутные комплексы переживания, что алгоритм нельзя запатентовать и проследовать к кассе за вознаграждением. Главная же причина кроется в другом.

Удивительно, но мне хотелось бы, чтобы Отставнов оказался прав. Чтобы математика в самом деле была объективной наукой, "языком, на котором Бог открывает людям тайны мироздания". Универсальность математических построений подтверждается мнением, что "сегодняшняя физика - это вчерашняя математика и завтрашняя технология". В этом случае тот факт, что реальный физический мир, в его сегодняшнем понимании, следует за вчерашними идеальными математическими построениями, был бы одним из лучших доказательств в пользу философского идеализма, если не в христианском понимании, то хотя бы в варианте Платона. Но поскольку в Священном Писании такой аргумент не приведен, то я был бы очень осторожен с подобными доказательствами, как и с утверждением того, что математика носит объективный характер.

Это нисколько не противоречит моей приверженности научному креационизму. Поясню почему.

Как-то в "Компьютерре" был опубликован занятный рисунок, изображающий некое сооружение, висящее в космосе. Рисунок был создан призером конкурса по компьютерной графике, и выполнен на тему "Ресторана у конца Вселенной".

Ресторан этот, мало известный в России, описан в популярном в англоязычных странах романе Дугласа Адамса "Путеводитель галактического хичхайкера" (Douglas Adams. The Hitch Hiker's Guide to Galaxy). Очень забавный роман о земных бюрократах, ломающих людям жизнь, снося их домики для строительства хайвэя, и небесных бюрократах, уничтожающих с той же целью саму Землю…

Так вот, в этом романе содержится получившее известность среди молодых интеллектуалов доказательство отсутствия Бога с помощью жука-бомбардира. Жук этот, как известно, промышляет себе корм, сбивая мух каплями воды, выстреливаемыми из брюшка наподобие артиллерийского снаряда.

Логика Адамса была следующей. Внутренне устройство жука-бомбардира столь сложно, что никак не могло возникнуть путем эволюции. Значит, жука-бомбардира создал Творец. Но ведь известно, что Творец выполнил мир таким, что Его присутствие может быть лишь предметом веры, а не научного знания. Следовательно, существование слишком сложного для эволюции жучка опровергает бытие Творца!

Все это, конечно, шутка. Остроумная пародия на усилия тех, кто пытается ввести науку туда, куда вход разрешен лишь вере. Научный креационизм вовсе не стремится доказать бытие Бога. Он лишь показывает, что наряду с эволюционным возможен и иной подход. Выбор же между ними - дело личного вкуса.

Так вот, возвращаясь к объективности математики. Жил в Ленинграде такой профессор Козырев. Он был известен двумя вещами - открытием вулканизма на Луне, за что получил международную премию, и построением некой асимметрической механики. Мне довелось беседовать с одним из учеников Козырева. Он развивал труды своего учителя тем, что построил аппарат классической физики, в котором отсутствовало понятие силы. Аппарат был, кстати, не противоречивым. Так что можно гипотетически предположить существование физик, оперирующих абсолютно разными абстракциями. Да так оно и есть: классическая механика - одна абстракция, классическая электродинамика - другая. А квантовая механика и теория элементарных частиц, не говоря уже о Великом объединении, оперируют принципиально иными абстракциями, принадлежащими разным школам, хоть и описывающими один и тот же объект. Но все это лишь абстракции. И в рамках физики, то есть науки, которая изучает реальный мир.

Математик же возможно множество - очень большой мощности. Различные геометрии. Различные определения интеграла. Различные подходы к теории чисел. Другая логика? Пожалуйста. Хотите - вот нечеткая логика (fuzzy set logic), для которой логика обычная есть частный случай. Многие ли привыкли к этой абстракции? Думаю, что нет. А ведь кристаллы, реализующие с очень высокой эффективностью алгоритмы нечеткой логики, выпускаются уже десяток лет. И объектив старенькой "Минольты" наводится на резкость устройствами, включающими в свой состав вычислители нечеткой логики… И это только один пример. Так что математик, то есть формальных систем, может существовать очень много. Другое дело, что одни формальные системы в какой-то момент развиваются быстрее, а какие-то совсем не развиваются. Как в литературе - то романтизм, то критический реализм. И вполне возможно, что некий криптоаналитический абстракционист эпохи соцреализма давно построил формальную систему, позволяющую выполнять очень быстро и дискретное логарифмирование, и разложение на множители. Насколько быстро его труды будут переоткрыты другими и опубликованы зависит от того, насколько "безумны", нетривиальны его идеи. Ведь приводил же математик Михаил Вялый ("Компьютерра", #224, с. 34) слух, что московский математик Степанов придумал классический алгоритм для вычисления дискретного логарифма. В качестве примера ученого, далеко обогнавшего свой век и непризнанного вследствие этого я могу назвать аббата Рожера-Иосифа Босковича из Дубровника, жившего в XVIII веке, математика, астронома, иезуита… Его труды, правда, публиковались. А сколько таких работ может лежать в секретных архивах? Так что пример с одновременным открытием Ньютоном и Лейбницем исчисления бесконечно малых мало что доказывает. Они принадлежали к одной и той же культуре, к одной и той же религии, читали одни и те же книги и думали над одними и теми же проблемами. А вот в случае культурного многообразия, которому придают сейчас такое значение в США, возможны куда более разные и своеобразные результаты…

Мне кажется, что вряд ли математику можно считать объективной наукой.  ¹ Это совокупность неких моделей, более или менее пригодных для описания свойств реального мира. Так что в вопросе надежности криптоалгоритмов, как и в экономике, на мой взгляд, огромную роль играет вера. Верят люди в экономическое развитие - и оно происходит. Верят в несокрушимость алгоритма PGP - и он в самом деле может оказаться весьма стойким, поскольку мнение о его эффективности наложит свой отпечаток на работы криптоаналитиков, которые будут подсознательно ограничивать круг своих поисков привычной тематикой. Никто, знаете ли, не находит грибов, а Георгий Кузнецов, заглядывающий туда, куда не заглядывает никто, находит… Так что доверять криптосистемам или не доверять - это дело вашей веры, доверия и т. п. (Кстати, Отставнов это показал очень четко и честно.) Мне же самым забавным и интересным кажется то, что вопрос о вере вылезает из сугубо специальных материалов в самых разных темах номера - о квантовых вычислениях, о криптографии…

¹ Желающим ознакомиться с более квалифицированным мнением рекомендую классику: B.Russel, Introduction to mathematical philosophy, 1919, а также превосходно переведенные на русский язык книги Стефана Клини "Введение в метаматематику", 1957, и "Математическая логика", 1973.