Трансцендентность и иррациональность

Часто можно услышать, что религия иррациональна. Позволю себе не согласиться. Иррациональными являются суеверия. Поворачивать назад, если встретилась молодуха с пустыми ведрами или дорогу перешла черная кошка, - иррационально. Религия же - трансцендентна.

Итак, что такое трансцендентность в математике? Возьмем самый известный пример - число p. Отношение длины окружности к диаметру. Поражает его универсальность - оно возникает во множестве чисто математических задач, не имеющих ни малейшего отношения к окружностям. Скажем, теория чисел весьма далека от геометрии. А вот ответом на вопрос: «Какова вероятность того, что два целых положительных числа, взятых наугад, не имеют общего делителя?» будет шестерка, разделенная на p2. Попутно отметим, что такого рода вопросы имеют практическое приложение в криптологии, и пойдем дальше.

Трансцендентное число по определению не является корнем никакого алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами. Дробная часть его десятичной записи бесконечна и непериодична.

В отличие от p, квадратный корень из двойки всего лишь алгебраическое иррациональное число. А вот p - дело совсем другое. Оно возникает лишь в результате ПРЕДЕЛЬНОГО ПЕРЕХОДА.

Не существует ни корней алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами, ни дроби с целыми числителями и знаменателями, которые бы в точности были равны p.

Это в математике. Ну а в богословии трансцендентным является то, что лежит за пределами нашего мира. То, что является метасистемой по отношению к нашей Вселенной. То, что не подлежит тестированию и во что можно только верить. Верить в случайность возникновения мира или предопределенность. Верить, что Создатель влияет на Вселенную или же что она отдана во власть стохастических игр. Научное знание здесь бессильно, здесь все зависит от собственного восприятия.

Попытки поверить в то, что может быть проверено опытом, - иррациональны. Например, в то, что алмаз можно расколоть, лишь помазав его козьей кровью. Или что живые тела испускают некие биополя (называемые спинорными, однако ни в какую не желающие отклонять стрелку гальванометра).

Как правило, иррациональные убеждения не согласуются с бритвой Оккама. Чего стоит миф о девственнице, способной укротить единорога! Обсуждать его бессмысленно, пока не зафиксирован научно хотя бы один единорог. Только после этого можно приступать к увлекательным научным поискам девственниц, а уж возможность исследовать взаимовлияние девственницы и единорога и вовсе проблематична. И все это тоже сугубо иррационально.

Мои рассуждения могут показаться тривиальными, но они были камнем преткновения для многих незаурядных умов. Вспомним одну давнишнюю дискуссию.

Философ Томас Гоббс (Thomas Hobbes, 1588-1679) упоминается во всех учебниках по философии и социологии. Его безусловной заслугой считается введение в науку понятия социального контракта. Но кроме широко известного «Leviathan, or the Matter, Form, and Power of a Commonwealth, Ecclesiastical and Civil» (1651) Гоббсу принадлежат и книги, более близкие тематике журнала, а именно - посвященные математике.

Науки, утверждал аглицкий мудрец, имеют своим предметом движение, и основа всякого исследования есть измерение и счет. Все наши идеи касаются лишь конечных предметов; идея бесконечности есть лишь следствие нашей неспособности положить конец счету.

Вооружившись этой мировоззренческой базой, Гоббс взялся за солидную математическую задачу. И не за одну.

Так на свет появилось его «Quadratura Circuli, Cubatio Sphaerae, Duplicatio Cubi» (1669). Гоббс, впервые познакомившийся с «Началами» Эвклида уже за сорок, был очарован геометрией. Он действительно нашел оригинальный способ приблизительного решения задачи квадратуры круга. Но, основываясь на второй части своего мировоззрения, Гоббс отождествил свое решение с задачей, касающейся идеальных линий. И вдобавок - удвоения куба с кубированием сферы. Комментарии излишни.

Ошибку Гоббса разъяснил выдающийся английский математик, вторая величина после Ньютона, Джон Валлис (John Wallis, 1616-1703). Разгорелись страсти. Обе стороны дискутировали не только о математике, но и об устройстве церкви Шотландии, а заодно и об умственных способностях оппонента. Со стороны Валлиса полемика достигла апогея в ядовитых «Hobbsiani Puncti Dispunctio» («Опровержениях замечаний Гоббса»).

Гоббс критики не признал. Несмотря на все аргументы геометров, он так и умер, убежденный в том, что поверхности имеют и глубину, и толщину.

А Валлис, отстаивавший абстрактные принципы, стал одним из основателей Королевского общества. Его «Arithmetica Infinitorum» (1655) послужила одной из предпосылок к созданию математического анализа, а вместе с ним и современного технологического общества. Кроме того, Валлис внес бесценный вклад в криптологию, с практическими задачами которой соприкасаются непостижимые трансцендентные числа.