Ниоткуда ни возьмись…

Авторы большую часть своей сознательной жизни посвятили проблемам практического использования тех или иных физических процессов. Или, что то же самое, - задачам управления ходом процессов. Понятно, что главным инструментом в этой работе всегда являлись разнообразные математические модели.

Авторы большую часть своей сознательной жизни посвятили проблемам практического использования тех или иных физических процессов. Или, что то же самое, - задачам управления ходом процессов. Понятно, что главным инструментом в этой работе всегда являлись разнообразные математические модели.

Среди коллег нам, конечно же, встречались представители двух, так сказать, радикальных группировок. Кредо первых: «физика - всё, математика самостоятельной ценности не представляет», вторых: «физика - лишь одна из возможных реализаций Математики. Главное - Математика». Ну что здесь сказать? На одном из семинаров по философии, где присутствовал один из нас, был поставлен вопрос: «Как изучал бы окружающий мир разум, помещенный в тело, принципиально отличающееся от человеческого? Обладающее, например, всего лишь двумя органами чувств - обонянием и слухом». В ходе обсуждения естественным образом была затронута проблема отображения и моделирования окружающей пахнущей и звучащей действительности. В конце концов в партитуре дискуссии зазвучала тема математики. Способен ли разум такого типа создать математику? Какой бы она была? Что представлял бы собой ее формальный аппарат? И так далее…

Возникали вопросы и другого плана. Например, может ли постигать Окружающее разум, не сумевший по тем или иным причинам изобрести то, что мы называем математикой?

Нет, действительно интересно - а можно ли вообще обойтись без математики? Один из ответов таков: да, можно, но это страшно неудобно.

Размышления на эти темы позволяют, как нам представляется, уйти от крайностей в суждениях о ценности и значении математики. Не «изобрети» Человечество столь удобный инструмент моделирования Реальности, нам пришлось бы, несомненно, пользоваться чем-нибудь другим, например, заняться натурным физическим моделированием создаваемых изделий и исследуемых процессов. Все это (с учетом множества неизбежно неудачных попыток) потребовало бы таких колоссальных затрат времени, труда и материалов, что быстрый технологический прогресс, скорее всего, стал невозможен.

Говоря о математике как об инструменте моделирования, мы сознательно избегаем говорить о ней, как о языке описания Действительности. И вот почему. Язык не обладает свойством предсказательности, если можно так выразиться. А модель - обладает.

Кроме того, на стадии математического описания реальных процессов время от времени возникают ситуации сродни тем, что бывают у переводчиков, когда нужно передать смысл какой-нибудь идиомы. Исходная фраза - вот она. Сочная, цветистая, полная смысла. А перевести не получается. Нет в языке перевода средств, чтобы выразить, смоделировать оригинал. Вот и в математике-языке, похоже, нет адекватных средств, чтобы передать «смысл» таких сугубо физических данностей, как случайность, энергия, взаимодействие, тогда как отношения между ними описываются очень хорошо.

Математика определяет случайное событие как любую комбинацию исходов некоторого опыта, имеющую определенную вероятность наступления. Здесь опыт следует понимать именно как физическое событие, поскольку ничего подобного в этом смысле в математике нет. Более «близким» математике является понятие «измерение», то есть получение численного выражения исхода физического события или эксперимента. Почему более близким? Потому, что процесс измерения в физике - по смыслу - практически совпадает с процессом вычисления в математике. В данном случае под вычислением мы имеем в виду не аналитические выкладки с формулами на бумаге, а счет в условиях ограничений на разрядность представления величин, но - внимание! - никаких ограничений на разрядность в самом матаппарате нет. Они появляются лишь в физических вычислителях.

Однако интересно: и определяя случайное события как исход опыта, и прибегая к понятию «вычисление», математика апеллирует к сущностям физической реальности, поскольку процессы в самой математике присутствуют лишь в форме алгоритмов, предполагающих наличие их исполнителя. По-настоящему что-либо вычислить способен только физический процесс. То же самое, в принципе, относится и к понятиям аксиоматики теории вероятностей. В частности, построенная А. Н. Колмогоровым в 1933 году теория случайных величин как измеримых функций на некотором вероятностном пространстве необходимо предполагает наличие «генератора» этого пространства - физического процесса или вычислителя. Хорошо разработанный аппарат теории вероятностей и математической статистики позволяет нам описывать, исследовать и применять на практике свойства случайных процессов, однако никак не помогает понять процесс «рождения» случайного события. В каком-то смысле истинно случайное событие следует рассматривать как некоторую фундаментальную данность нашего мира, как некоторое элементарное явление, принципиально несводимое ни к чему другому. Вот уж, воистину, «Бог-изобретатель»!

Столь же интересно рассмотреть введенное Феллером пространство элементарных событий. Интересно уже тем, что понятие «событие» в самой математике неизбежно требует наличия «внешнего» физического посредника-вычислителя, позволяющего «зафиксировать» факт наступления события.

Есть смысл упомянуть еще об одной замечательной физической «идиоме» - о понятии причинно-следственных отношений. В самом деле, можно ли утверждать, что некоторое событие случайно, если мы знаем все причины (и, следовательно, способны ими управлять!), приводящие к реализации некоторого исхода опыта? Конечно же, нет! Это вовсе не случайное событие, а самое что ни на есть закономерное. Упоминая работы Колмогорова, связанные с уточнением понятия случайного, нельзя не вспомнить его определение случайности с позиций теории алгоритмов. Фактически, им было отождествлено понятие «случайное» и «сложное». В свое время Колмогоров доказал теоремы, показывающие правомерность интерпретации основных законов теории вероятности как законов о сложновычислимых последовательностях.

Иными словами, случайное событие - то, причин которого мы не знаем, потому что их очень трудно узнать. Либо то, причин возникновения которого нет вовсе. Ниоткуда ни возьмись… Занятно, не так ли? Так «нет» или «трудно узнать»?.. Этот вопрос в каком-то смысле эквивалентен другому - «есть ли Бог, или его нет?» Ай да Пушкин…

Почему об этом зашла речь? Еще и потому, что в физике, например, понятие «причина» теснейшим образом связано с понятием «энергия» ¹. Приток энергии в систему (или ее наличие в ней) равнозначно возникновению причины ее поведения в будущем, то есть способности генерировать события. Подыскивая математические структуры для моделирования физических процессов, очень важно помнить, что в физической системе не возможны никакие события (то есть переходы в состояния, отличные от предыдущих) без участия процессов обмена энергией. А в математике? В математике есть (и существенен!) порядок, последовательность действий, но нет ничего напоминающего причины их выполнения.

В заключение хотелось бы отметить, что противопоставление физики и математики, на наш взгляд, совершенно бессмысленно и даже спекулятивно. Маловероятно, чтобы в процессе исследования природы и устройства нашей Вселенной потребности физики в средствах моделирования превзошли возможности математики как основы технологии этого дела. Особенно теперь, когда некоторая «статичность» математических построений преодолена путем повсеместного использования компьютерного моделирования как физических процессов, так и «внутренних», абстрактных процессов взаимодействия математических объектов. Сложившаяся ситуация свидетельствует либо о необходимости расширенного восприятия математики, либо о назревшей потребности формирования целого ряда междисциплинарных направлений, основанных на привнесении в математику (в качестве математических объектов) предметов исследования этих направлений, включая весь перечень их свойств и отношений.