Архивы: по дате | по разделам | по авторам

2-Кони, трактор - оборот картинок-2

Архив
автор : Евгений Скляревский   03.10.2001

В статье "Кони, трактор, оборот картинок" авторы предложили читателям несколько задач, не сообщив решения. Вот еще задача из того же ряда: "Совпадает ли угловая скорость вращения Луны вокруг Земли с угловой скоростью вращения Луны вокруг своей оси по направлению и величине?"

В статье «Кони, трактор, оборот картинок» («КТ» #412) авторы предложили читателям несколько задач, не сообщив решения. Вот еще задача из того же ряда: «Совпадает ли угловая скорость вращения Луны вокруг Земли с угловой скоростью вращения Луны вокруг своей оси по направлению и величине?»

Чем больше размышляешь о преимуществах колесного качения над ползанием и шаганием, тем больше удивляешься, что природа (и господь Бог) не пошли этим путем. Разве что ветер несет перекати-поле по степи, да почему-то говорят, что в голове шарики крутятся… Кстати, как у вас с этим делом, в смысле с шариками? Узнали, что за фразы использованы в названии статьи и названиях разделов?

Осело колесо

Мы развлекались, строя различные картинки, задаваемые формулами

X = Int((R1 + R2) * Cos(R2 * T / R1) - R3 * Cos((R1 + R2) / R1 * T))

Y = Int((R1 + R2) * Sin(R2 * T / R1) - R3 * Sin((R1 + R2) / R1 * T))

при различных значениях R1, R2 и R3 (T - полярный угол, пробегающий в цикле все возможные значения). Возьмем и поменяем знак у R3 внутри цикла, задав R3= -R3 и получим монстра:

Можно проделать такой трюк и с R2, тогда точки эпициклоиды будут соединяться с соответствующими точками гипоциклоиды, рисуя фантастических ежей.

В статье «Прогулки по паутине» («КТ» #397) говорилось, что можно было бы вспомнить фигуры Лиссажу, но не стоит смешивать две забавы. На что пришло письмо от автора «Речки» с вопросом: а почему бы, собственно, и не смешать? Автор письма именно «смешал», получил невероятно красивые изображения и выложил их на «Речке». Так вот, можно применить фигуры Лиссажу и к нашим циклоидам, заставив колесики катиться по восьмеркам-лепесткам-розеткам, или, наоборот, катить по колесу замысловатые фигуры. Катить же фигуры Лиссажу по фигурам Лиссажу - это, согласитесь, слишком забористо. Первая же картинка напомнила, что Дмитрий Красновский, ведущий рубрики «Изо» «Компьютерры-онлайн», написал и выложил в своем разделе статью-руководство по созданию в Corel Draw красивых вензелей для оформления поэтических страничек. Дело за малым - как придумать красивый вензель? И тут уж наша игрушка предоставит вам массу образцов на выбор.

А сыр катит и та крыса

Когда наиграетесь, можете модифицировать программу так, чтобы радиусы R1 и R2 выбирались случайным образом (из «хороших» диапазонов, разумеется), а для R3 задавалось бы несколько значений от нуля до ста - получится неплохая заставка для отдыха. Напоследок решите задачу из коллекции Гарднера: девушка с круглой талией вращает обруч вдвое большего (чем талия) радиуса. Какое расстояние (в радиусах талии) пролетит точка, коснувшаяся пупка, до следующего с ним соприкосновения? Траектория этой точки описывает линию, которая называется кардиоидой, так как она похожа на сердце (частный случай улитки Паскаля, тоже фигурировавший в статье «Прогулки по паутине»). Кстати, на страничке профессора математики университета Айовы Александра Богомольного вы сможете найти симпатичный апплет, рисующий кардиоиду.

Там же найдете элегантную идею расчета эпи- и гипоциклоид - действие происходит на плоскости комплексных чисел, что позволяет использовать формулу Муавра

R(cos j+ i sin j)n = Rn (cos nj + i sin nj )

и представление комплексного числа в показательной форме по формуле Эйлера

ea+ib = ea (cos b + i sin b).

Наконец, вернемся к задачам о монетах. Первое пришедшее в голову решение, что монета, катящаяся по такой же монете, за один оборот повернется вокруг своей оси на 360°, будет неверным!

Посмотрите на картинку: при переходе из нижнего положения в верхнее монета сделает (как ни странно) полный оборот, а значит, вернувшись в исходную точку, она совершит два оборота! Теперь вы легко найдете, сколько оборотов сделает монета, обернувшись вокруг монеты с вдвое большим радиусом и вокруг двух монет.

В названии статьи и разделов использованы палиндромы - фразы, читающиеся одинаково справа и слева, что дает основание считать их дальними родственниками циклоид.

Палиндром - и ни морд, ни лап

Число 2002 - такой же полноправный палиндром, как и заголовок раздела. А до этого годом-палиндромом был 1991-й. Нынешний год 2001 - естественно, не палиндром. Но если к нему прибавить его «обращение» 1002, то сразу получим палиндром 3003. Тем же свойством обладает и год 2003: 2003 + 3002 = 5005. Для некоторых чисел такое действие для получения числа-палиндрома придется повторить несколько раз: 69 + 96 = 165; 165 + 561 = 726; 726 + 627 = 1353; 1353 + 3531 = 4884. Всегда ли в такой цепочке рано или поздно встретится палиндром? Увы, ответ на этот вопрос неизвестен. Попробуйте, например, начать с числа 196. А лучше - не пробуйте: математики уже проделали эту работу. После почти 10 миллионов шагов было получено огромное 3924257-значное число, причем ни оно, ни все предыдущие числа палиндромами не являлись.

[i41456]

© ООО "Компьютерра-Онлайн", 1997-2021
При цитировании и использовании любых материалов ссылка на "Компьютерру" обязательна.