2-Кони, трактор - оборот картинок-2
АрхивВ статье "Кони, трактор, оборот картинок" авторы предложили читателям несколько задач, не сообщив решения. Вот еще задача из того же ряда: "Совпадает ли угловая скорость вращения Луны вокруг Земли с угловой скоростью вращения Луны вокруг своей оси по направлению и величине?"
В статье «Кони, трактор, оборот картинок» («КТ» #412) авторы предложили читателям несколько задач, не сообщив решения. Вот еще задача из того же ряда: «Совпадает ли угловая скорость вращения Луны вокруг Земли с угловой скоростью вращения Луны вокруг своей оси по направлению и величине?»
Чем больше размышляешь о преимуществах колесного качения над ползанием и шаганием, тем больше удивляешься, что природа (и господь Бог) не пошли этим путем. Разве что ветер несет перекати-поле по степи, да почему-то говорят, что в голове шарики крутятся… Кстати, как у вас с этим делом, в смысле с шариками? Узнали, что за фразы использованы в названии статьи и названиях разделов?
Осело колесо
Мы развлекались, строя различные картинки, задаваемые формулами
X = Int((R1 + R2) * Cos(R2 * T / R1) - R3 * Cos((R1 + R2) / R1 * T))
Y = Int((R1 + R2) * Sin(R2 * T / R1) - R3 * Sin((R1 + R2) / R1 * T))
при различных значениях R1, R2 и R3 (T - полярный угол, пробегающий в цикле все возможные значения). Возьмем и поменяем знак у R3 внутри цикла, задав R3= -R3 и получим монстра:
Можно проделать такой трюк и с R2, тогда точки эпициклоиды будут соединяться с соответствующими точками гипоциклоиды, рисуя фантастических ежей.
В статье «Прогулки по паутине» («КТ» #397) говорилось, что можно было бы вспомнить фигуры Лиссажу, но не стоит смешивать две забавы. На что пришло письмо от автора «Речки» с вопросом: а почему бы, собственно, и не смешать? Автор письма именно «смешал», получил невероятно красивые изображения и выложил их на «Речке». Так вот, можно применить фигуры Лиссажу и к нашим циклоидам, заставив колесики катиться по восьмеркам-лепесткам-розеткам, или, наоборот, катить по колесу замысловатые фигуры. Катить же фигуры Лиссажу по фигурам Лиссажу - это, согласитесь, слишком забористо. Первая же картинка напомнила, что Дмитрий Красновский, ведущий рубрики «Изо» «Компьютерры-онлайн», написал и выложил в своем разделе статью-руководство по созданию в Corel Draw красивых вензелей для оформления поэтических страничек. Дело за малым - как придумать красивый вензель? И тут уж наша игрушка предоставит вам массу образцов на выбор.
А сыр катит и та крыса
Когда наиграетесь, можете модифицировать программу так, чтобы радиусы R1 и R2 выбирались случайным образом (из «хороших» диапазонов, разумеется), а для R3 задавалось бы несколько значений от нуля до ста - получится неплохая заставка для отдыха. Напоследок решите задачу из коллекции Гарднера: девушка с круглой талией вращает обруч вдвое большего (чем талия) радиуса. Какое расстояние (в радиусах талии) пролетит точка, коснувшаяся пупка, до следующего с ним соприкосновения? Траектория этой точки описывает линию, которая называется кардиоидой, так как она похожа на сердце (частный случай улитки Паскаля, тоже фигурировавший в статье «Прогулки по паутине»). Кстати, на страничке профессора математики университета Айовы Александра Богомольного вы сможете найти симпатичный апплет, рисующий кардиоиду.
Там же найдете элегантную идею расчета эпи- и гипоциклоид - действие происходит на плоскости комплексных чисел, что позволяет использовать формулу Муавра
R(cos j+ i sin j)n = Rn (cos nj + i sin nj )
и представление комплексного числа в показательной форме по формуле Эйлера
ea+ib = ea (cos b + i sin b).
Наконец, вернемся к задачам о монетах. Первое пришедшее в голову решение, что монета, катящаяся по такой же монете, за один оборот повернется вокруг своей оси на 360°, будет неверным!
Посмотрите на картинку: при переходе из нижнего положения в верхнее монета сделает (как ни странно) полный оборот, а значит, вернувшись в исходную точку, она совершит два оборота! Теперь вы легко найдете, сколько оборотов сделает монета, обернувшись вокруг монеты с вдвое большим радиусом и вокруг двух монет.
В названии статьи и разделов использованы палиндромы - фразы, читающиеся одинаково справа и слева, что дает основание считать их дальними родственниками циклоид.
Палиндром - и ни морд, ни лап
Число 2002 - такой же полноправный палиндром, как и заголовок раздела. А до этого годом-палиндромом был 1991-й. Нынешний год 2001 - естественно, не палиндром. Но если к нему прибавить его «обращение» 1002, то сразу получим палиндром 3003. Тем же свойством обладает и год 2003: 2003 + 3002 = 5005. Для некоторых чисел такое действие для получения числа-палиндрома придется повторить несколько раз: 69 + 96 = 165; 165 + 561 = 726; 726 + 627 = 1353; 1353 + 3531 = 4884. Всегда ли в такой цепочке рано или поздно встретится палиндром? Увы, ответ на этот вопрос неизвестен. Попробуйте, например, начать с числа 196. А лучше - не пробуйте: математики уже проделали эту работу. После почти 10 миллионов шагов было получено огромное 3924257-значное число, причем ни оно, ни все предыдущие числа палиндромами не являлись.
[i41456]
