Числовые процессы

Архив

knopki@computerra.ru

Извините, господа, я долго стучался в дверь, но вы так бурно обсуждали цифровые фотокамеры, бизнес в Интернете и 128-битный криптопротокол, что, пока я не бабахнул молнией по люстре (иногда приходится прибегать к чудесам), никто не обращал на меня внимания. А я всего лишь хотел спросить, нет ли среди вас любителей ковыряться с цифрами, числами, программками на Бейсике и всякой подобной чепухой, использующих компьютер прежде всего как прекрасный инструмент для проверки своих фантазий и заблуждений. Нет? Жаль, у меня для таких любителей есть забавные числовые последовательности.

- Имеется несколько стопок книг. Мы берем из каждой стопки по одной книге и ставим их, опять же стопкой, рядом с первыми. Потом повторяем эту операцию. К чему мы придем? И придем ли к чему-нибудь? Как влияет на результат наших действий начальная расстановка - количество стопок и количество книг в них?

Этот процесс подходит для моделирования на компьютере. C помощью программы случайно удалось найти самое примитивное устойчивое колебание для случая из двух книг - то две стопки по одной книге, то одна по две. [1]

- Числовые последовательности попадаются довольно забавные. Например, выберите число и найдите сумму квадратов его цифр, потом проделайте это с полученной суммой еще и еще раз. Кстати, прекрасное средство от бессонницы. Придем ли мы к чему-нибудь? Как зависит то, к чему мы придем, от начального числа?

Задача просто идеальная для начинающих программистов. Я услышал ее лет за десять до появления ПК и заинтересовавшимся могу посоветовать записывать процесс на бумаге, тогда вы быстро выявите несколько "зацикливаний".

- Теперь та же операция, но с суммой кубов цифр числа. Удивительно, но если начальное число кратно трем, то мы всегда будем кончать повтором одного и того же числа (какого?). Почему? А если не кратно трем? Запишите как домашнее задание.

- Еще одна последовательность: первый член - произвольное нечетное число, отличное от единицы. Число, следующее за числом р, равно р/2, если р четное, и 3р+1, если р нечетное. Последовательность заканчивается, если встретится член, равный единице. Всегда ли последовательность достигает 1? Как это зависит от начального числа? Как проще выяснить четность числа? [2]

И еще одна, "последняя интересная" последовательность, "вкусная" для Бейсика [3].

- Возьмем любое четырехзначное число. Выпишем цифры числа в порядке возрастания и вычтем полученное число из начального. Разница будет вторым членом последовательности. Продолжая эту операцию, вскоре заметим, что мы "циклим" на числе 6174 независимо от начального числа, и еще заметим, что не можем этого объяснить. [4]

А сколько существует четырехзначных чисел, в записи которых нет повторяющихся цифр? Не так уж много... Услышав эту задачу (задавалась на какой-то олимпиаде для школьников), я с нетерпением дождался "встречи" с Бейсиком, тогда еще на СМ-4, чтобы убедиться, что таких чисел неожиданно мало.

И еще одна жемчужинка, которую французский ученый Ж. Арсак в книге "Программирование игр и головоломок" [5] предложил для разминки. (Кстати, не могу не привести мудрые слова из этой книги: "Кто сам программирует свои компьютерные игры, наслаждается дважды".

- Найти такое число, оканчивающееся на 5, что, умножая его на 5, мы получим новое число, полученное из предыдущего вычеркиванием цифры 5 на конце и приписыванием его в начале. Закончив условие, Арсак пишет: "Это легко..." и тут же добавляет: "Та же задача с заменой 5 на 2. Можно ли заменить здесь 5 какой-нибудь цифрой, отличной от 0?"

А вот еще одна числовая игра.

- Первый игрок сообщает какую-нибудь дату января. Каждый игрок на своем ходе увеличивает либо день в месяце, либо месяц, но не то и другое сразу. Если вы переходите к 31 января, то ваш противник сможет в дальнейшем менять только месяцы, и притом лишь месяцы, в которых 31 день. Выигрывает тот, кто назвал 31 декабря. Количество дней в феврале можно брать по текущему году. (Кстати, 2000 год правильнее было бы назначить не високосным, погрешность растет [6], это отразится и на погоде, и на астрологии...) Как лучше играть?

Последний этюд - из области воспоминаний. На древней машине СМ-4 была такая игра. Машина сообщала: я задумала число от 1 до 300 (например), введите ваши два числа. Мы вводили два числа, и машина давала один из трех вариантов сообщений:

- мое число больше каждого из ваших;

- мое число меньше каждого из ваших;

- мое число равно одному из ваших.

Дальше процесс повторялся, но число попыток было ограничено, выдавались язвительные замечания об играющем, но это уже не имеет отношения к несложным вопросам:

А - Какова оптимальная стратегия играющего?

Б - Какое максимальное число (не торопитесь) может загадать машина, чтобы за шесть (или семь) оптимальных ходов вы смогли отгадать его?

Ну вот и все. Если вы дочитали до конца, уже неплохо, а если что-то вас заинтересовало, значит, вы еще готовы к великим свершениям. (Убедитесь в этом, зайдя в гости на www.arbuz.narod.ru.) И не слушайте тех, кто не любит математику, программирование и прочие "глупости", лучше пожалейте их: ведь жизнь, потраченная на суету, скучна и неказиста.

---

1 (обратно к тексту) - Есть две серии самых интересных случаев: первая - если стопки расположены правильной лесенкой, например, 5+4+3+2+1. Вторая - та же лесенка, но в большей стопке на одну книгу больше, например, 6+4+3+2+1. А самое интересное, что любая начальная раскладка из 15 книг через несколько ходов почему-то превращается в правильную лесенку! - Здесь и далее прим. К. Кнопа.

2 (обратно к тексту) - Эту последовательность часто называют последовательностью Коллатца. По-видимому, она всегда приходит к одному и тому же зацикливанию: 1 - 4 - 2 - 1. Но все попытки строго доказать этот факт ни к чему не привели.

3 (обратно к тексту) - Последняя в том смысле, что другим не хватило места. Я все же не удержусь и приведу еще один замечательный процесс: берем любое число, "переворачиваем" его и складываем с исходным. Так повторяем до тех пор, пока не получим число-палиндром. Например, 28 + 82 = 110, 110+11=121. Для "почти всех" начальных значений палиндромы получаются "почти сразу". Ну а попробуйте, например, начать с числа 196...

4 (обратно к тексту) - Число 6174 имеет собственное имя: постоянная Капрекара - в честь индийского математика, который впервые открыл эту замечательную закономерность. Правда, в отличие от (3n+1)-последовательности, здесь у математиков нет никаких затруднений - все давно доказано.

5 (обратно к тексту) - Изд. "Наука", 1990.

6 (обратно к тексту) - Это неправда. Как для астрологии, я не знаю, но с астрономией все в порядке.