Начало математической философии?

Архив

Что делать, если кажется?

Ну, например, если кажется, что окружающий нас Мир состоит из разнообразных предметов, вещей, объектов, а также событий и процессов. Все эти представления, формировавшиеся с детства, оказывается, так сильны, что даже под давлением серьезных аргументов нам не хочется отказываться от них или хотя бы признать их становящуюся все более явной ограниченность.

Математика верно описывает окружающую действительность. Именно это фундаментальное свойство позволяет применять математические методы для теоретического исследования реальных явлений. И не виновата математика, если какие-то ее законы мы не хотим или не готовы увидеть в окружающем.

Конкретно? Пожалуйста. Мы не готовы принять, что привычные предметы на самом деле не находятся в том месте, где мы их "можем потрогать" или увидеть; мы не хотим обращать внимание на то, что в основах математики нет строгого деления Всего на объекты и процессы. То есть, конечно же, имеются способы математического описания объектов и процессов, но - внимание! - всегда есть определенные процедуры или механизмы, взаимно однозначно связывающие эти два типа описаний. О чем это говорит? О том, что на самом деле вокруг нас нет ни объектов, ни процессов, а есть лишь некоторые сущности, которые в тех или иных обстоятельствах нам кажутся либо объектами, либо процессами.

Закон бутерброда



Возьмем пример абсурдный, но уж больно удачный, - бутерброд. Он - объект или процесс?! Не торопитесь с ответом...

Аппетитно сервированный на блюде сэндвич очевидно обладает всеми признаками объекта: он (объект) расположен в определенном месте, он куда-то (в рот, например) может быть перемещен с определенной скоростью, имеет массу, наконец. Как всякий объект, он имеет форму и границы. Это же видно невооруженным глазом! А если вооруженным? Например, в электронный микроскоп?

Увы, нас ждет разочарование! Бутерброд куда-то делся. Его нет, его не видно! Зато очевидным становится, что никакой это не объект. Какой же это объект, если у него даже четких границ нет. Зато сразу видно, что в некоторой области пространства идут какие-то неаппетитные химические процессы окисления, соединения, денатурации...

Вывод напрашивается простой, но, очевидно, нетривиальный: бутерброд не является ни объектом, ни процессом. Или, если кому так удобнее, он есть и объект, и процесс одновременно, выглядя так, как предопределяют условия наблюдения.

Самое время сделать последнее обобщение: подобным образом "ведет себя" вс§, что есть в нашем Мире.

Все объекты - лишь процессы, которые мы наблюдаем "снаружи", вне зоны действия тех законов, которые определяют и управляют этими процессами.

Аналогично процессы - это объекты, наблюдаемые нами "изнутри", когда мы находимся в зоне действия соответствующих этому процессу законов. Стоит отойти подальше, и вот, глядите-ка, - объект, типичная "вещь".

Помните вопрос о сути бутерброда? Ну, и как? Будем ли мы по-прежнему считать его объектом, или станем апологетами его природы как некоторого процесса взаимодействия атомов углерода, водорода, кислорода, имеющего место в некоторой области пространства, в границах того, что нам видится бутербродом?

При помощи этого несложного мысленного эксперимента мы сделали одну важную вещь - сформировали в своем сознании некоторый новый, непривычный с позиций бытового опыта взгляд на окружающее и, одновременно, подготовили почву для восприятия более глубоких принципов математики с большим доверием.

Тайная суть



Из математики мы знаем, что функция трех переменных описывает поверхность в трехмерном пространстве (здесь я имею в виду не физическое, а абстрактное, "математическое" пространство). В принципе, так оно и есть, однако здесь существует тонкость, суть которой можно выразить примерно так: уравнение поверхности и сама поверхность - не одно и то же.

Почему? А потому, что уравнение поверхности - это математическое выражение, обращающееся в ноль в точках, лежащих на описываемой поверхности. Сама же поверхность - суть наше с вами представление о взаимном положении этих точек, возникающее после того, как все они (или, по крайней мере, большинство) будут нами вычислены и визуализированы тем или иным способом - на бумаге, на экране или просто "в голове".

Простые уравнения описывают несложные поверхности, и при известной практике можно даже без компьютера "набросать" на бумаге их вид, но если взять по-настоящему сложную функцию, да еще с большим количеством параметрических коэффициентов... Тут все становится гораздо интереснее.

Представьте себе, что вы находитесь "посреди" абстрактного математического пространства, а где-то "рядом" с вами, - вы об этом знаете, вам об этом сказали, - находится какой-то объект, описываемый во-о-от такой формулой! В глубокой "темноте" вы висите в пространстве, зная, что вблизи находится "нечто", но ничегошеньки не видно!

Оказавшись в подобной ситуации в жизни, что вы делаете? Берете фонарик! То есть в обычной "физической" жизни вы инициируете некоторый процесс, вызывающий какую-то реакцию поверхности исследуемого объекта (рассеяние света), позволяющий визуализировать эту поверхность, выявить каждую ее точку.

В случае с фонариком свет его, отразившись от поверхности, возвращается к нам, и мы видим освещенные лучиком части объекта. Их изображения, складываясь в нашем сознании в единое целое, дают ощущение знания или, вернее, представления об объекте. То есть на основании актов измерения в сознании исследователя (или наблюдателя) строится модель наблюдаемого (уравнение или другое какое-нибудь формальное описание увиденного).

Здесь мы вплотную подходим к очень важному моменту: измерение или наблюдение в естествознании являются аналогами вычисления в математике! Удивительно красивая ситуация!

Только вычисление точек поверхности дает нам возможность увидеть, что за математический объект находится перед нами, какова его форма (отмечу сразу, что для исследования свойств уравнения это все не обязательно, однако сколько труда вкладывается именно в визуализацию математических абстракций!).

И только измерение, поиск точек, лежащих на поверхности физического объекта, дает нам возможность увидеть этот объект.

Название этой главы кому-то могло показаться слегка искусственным, навеянным желанием сгустить атмосферу таинственности над простыми в сути своей вещами. Отнюдь! И сейчас самое время в этом убедиться.

Возвратимся опять в глубины абстрактного пространства, туда, где "висит" нечто, которое нам очень нужно исследовать и очень хочется увидеть. Зная уже, что без вычислений не обойтись (точки, точки нужны, те самые точки, из которых и "сложится" поверхность исследуемого объекта-функции), зная, что вычисление - это и есть наш главный инструмент исследования, обратим внимание на такую прозаическую вещь, как точность этих самых вычислений.

Кто-то из великих сказал однажды, что математика вычислениями не занимается. Конечно же, не занимается! Вычислениями занимаемся мы с помощью чисел и разного рода приспособлений, "материализующих" эти числа, например, счеты или... компьютер. И здесь тоже есть два тонких момента.

Первый: любое вычисление предполагает наличие вычислителя, некоторой системы ("фонарика"), лежащей вне исследуемого.

Второй: любое вычисление осуществляется с некоторой конечной точностью. Иными словами, когда мы говорим: "эта точка лежит на прямой", мы практически утверждаем, что "эта точка находится в некоторой окрестности или "трубке" вокруг математической прямой". Причем размер этой "трубки" определяется точностью (или погрешностью) наших вычислений.

Итак, мы - в абстрактном пространстве, "в руках" у нас в качестве фонарика - компьютер, и мы приступаем к исследованию того-что-находится-рядом.

Сразу возникает чисто практический вопрос: с какой точностью считать? Считать грубо - фактически означает "не заметить" тонкий рельеф или малые по сравнению с областью погрешностей детали поверхности объекта. Скажем, то, что при грубом вычислении нам казалось гладким шаром, на самом деле может быть сложным сферическим фракталом наподобие одуванчика. Считать предельно точно - значит не закончить исследование в приемлемый срок (обратите внимание: в нашем абстрактном мире начинают появляться соотношения неопределенностей и эффекты наподобие дифракционных!).

В общем, выбрали мы некоторый оптимум, считаем... А как мы это делаем? Опять вопрос - на этот раз о "стратегии", что ли, счета. Можно очень точно и скрупулезно вычислять все точки объекта, "двигаясь" с одного его края к другому. Можно? Конечно! Только этот процесс имеет тот недостаток, что цельная картина или представление об объекте сложится только в самом конце вычислений. А если мы хотим побыстрее? Тогда мы вынуждены детерминированный подход сменить на вероятностный! То есть считать вразброс по всей области, где находится интересующий нас объект. При этом цельная картина или изображение объекта будет возникать по точкам, как бы "проявляться", подобно изображению на фотобумаге, - сразу все, целиком, но вначале грубо, потом все более и более "проработанное" в деталях.

Чем хорош этот метод? Он позволяет добиться того, что целостное представление об объекте возникает практически сразу, а потом лишь уточняются детали.

Здесь стоит обратить внимание на то, что в рамках описываемых систем аналогий "математика - физическая реальность" физические константы, связанные с процессами взаимодействия (например, постоянная Планка и ряд других), интерпретируются... как параметры, характеризующие точность вычислений, а может быть, разрядность "процессора", реализующего физическую Вселенную.

Кроме того, похоже, что разные физические процессы "вычисляются" с различной, оптимальной для их "осуществления" точностью (кстати, обычный прием экономии ресурсов и повышения быстродействия в цифровых управляющих комплексах), - вспомните известные в физике зависимости "энергия - длина волны", дифракционные эффекты и классические соотношения неопределенностей в квантовой механике! Действительно, зачем точно вычислять то, что в данный момент не важно (кому не важно и почему не важно - это другой вопрос. И не ко мне).

Между прочим, и принципиально вероятностный характер взаимодействий в квантовой теории можно рассматривать именно как изящную реализацию принципа, о котором говорилось ранее, - чтобы побыстрее и целиком визуализировать (или материализовать - мы же сейчас о физике говорим) объекты нашего Мира. А может быть, чтобы обеспечить возможность их наискорейшего участия во всех других "положенных им" взаимодействиях.

И вновь, уже совсем "с другой стороны", мы приходим к ранее сделанному предположению, что все наблюдаемые нами объекты объектами не являются. Можно сказать и по-другому (вспомните, когда мы исследовали объект в абстрактном пространстве): истинным объектом можно было бы считать его суть, описывающий его закон, то есть его уравнение, формулу.

Но, заметьте, эта формула, уравнение, "суть", во-первых, не имеет вида и формы объекта, а во-вторых, то, что мы воспринимаем как вид или форму его, - не более чем реакция сущности объекта конкретно на то наше воздействие, которое мы предприняли для его изучения или познания.

Анти-Тьюринг



И, наконец, еще одна важная идея, которой хотелось бы коснуться после всего сказанного, - принцип эквивалентности локального и нелокального. В одном детском фильме про Аладдина его знакомый Джинн любил приговаривать: "Я здесь и не здесь. Я - везде и нигде". Чеканная формулировка!

В математике есть ряд строгих доказательств эквивалентности понятий "здесь" и "везде". Возьмем пример с разложением в ряд Фурье. Для нетехнарей поясню в двух словах: метод основан на том, что любую периодическую функцию можно представить в виде суммы ряда синусоид - волн различной частоты и амплитуды.

Здесь важно отметить, что, во-первых, разница между периодическими и непериодическими функциями на практике не столь уж принципиальна (по большому счету, вся наша Вселенная - периодична), а во-вторых, если исходная функция, скажем, прямоугольный импульс, имеет определенное место (координаты), то представляющие его волны (компоненты разложения) распределены по всему пространству.

Иными словами, чтобы какой-либо объект был проявлен в данном месте и в данный момент времени, его компоненты должны присутствовать всегда и во всем пространстве. При этом не важно, что мы будем называть объектом, - какой-то предмет, отдельную молекулу, атом...

Из совокупности сказанного в качестве практической гипотезы можно принять, что Мир заполнен распределенными сущностями, не имеющими характера объектов или процессов, о которых нельзя сказать, что они присутствуют "где-то". Эти сущности более точно описываются словами "Закон" или "Принцип". Но, заметьте, существует и более "современный", что ли, термин. Термин этот - "Алгоритм".

Возможно, что в Мире и нет ничего, кроме Алгоритмов, которые, взаимодействуя, порождают кажимость локального протекания процессов или иллюзии объектов. Сам же Мир тогда есть не что иное, как динамическая реализация математики.

Я не зря начал статью с сетований на привычные представления. Они накладывают отпечаток на ход мысли и в силу этого порождают тенденции к воспроизведению самих себя в изделиях человеков.

Компьютеры - хороший пример для иллюстрации этого тезиса.

В основе всех нынешних процессоров, контроллеров и вообще всех цифровых систем заложен принцип, очень наглядно демонстрируемый гипотетическим устройством, которое называется машина Тьюринга.

Строго говоря, даже о машине Тьюринга я стал говорить, лишь чтобы как-то осовременить этот древний принцип, - не вести же родословную от времен абака, хотя и там этот принцип работал вовсю. Он вообще всегда работал с тех времен, когда кому-то пришла в голову мысль использовать для счета камешки, косточки... импульсы, состояния бистабильных элементов, короче говоря, нолики и единички. Есть камешек в лунке - "единичка", нет - "нолик". Триггер в одном состоянии - "единичка", в другом - "нолик".

Другими словами, принцип локальности чего-то. Нечто имеет место в этом месте и в данный момент - "единичка". Ничего нет - "нолик"... Начиная с машины Тьюринга, все дискретные процессоры только и заняты тем, что манипулируют "единичками"! Более того, даже алгоритмы сегодня воспринимаются как последовательность отдельных (локальных!) операций над конкретными (локальными!) числами, находящимися в определенных (опять локальных!) ячейках памяти.

Но ведь все это не более чем половина действительного положения вещей! И в понимании этого кроются совершенно невероятные перспективы развития, в частности, компьютерных технологий.

Компьютерную технологию нового типа смело можно будет называть Анти-Тьюринговой, поскольку локальным "ноликам" и "единичкам" придут на смену распределенные состояния вычислительной среды, которые будут генерироваться распределенными алгоритмами, функционирующими под управлением делокализованного Операционного Принципа (каков термин, а?)

Рано или поздно будет поставлена задача о создании компьютера в форме единой среды обработки информации (или среды протекания информационных процессов). Фактически, это будет означать создание искусственного Мироздания, используемого для решения утилитарных задач...