Этюды из жизни комплексных чисел

Архив

Не слабо сказано, задумайтесь. Но если не претендовать на истинное знание, то, может, и будет польза от размышлений. Угадывая в дымке будущего черты "Цифрового века", увидим там не только симбиоз человека с наночипами и умную бытовую технику, но и разумные организмы, живущие на экране. И сподручнее других именно "Терре", посвятившей #289 "Искусственной жизни", если не "организовать и возглавить", то "подталкивать информацией" энтузиастов.

Начнем разговор о фракталах, причем для дальнейшего движения нам надо размежеваться на две команды: первая, посмотрев на фрактальный узор, подавив зарождающийся зевок, говорит "красиво" и возвращается к повседневной суете. Вторая заболевает ими навсегда, как это было с игрой "Жизнь" или с флексагонами, не в силах отделаться от наваждения: "А что, если попробовать поменять параметр..."

Самым интересным открытием, непосредственно связанным с фракталами, является множество Мандельброта. При многократном возведении комплексного числа в степень при некоторых начальных значениях процесс не идет вразнос и не вырождается в нули, а заполняет некоторую область на комплексной плоскости, порождая невероятные изображения.

Программы на Turbo Pascal'e, моделирующие биоморфы (организмы, живущие на экране), могут быть буквально в несколько строчек, пишите - вышлю, поиграйте с биоморфами, они хорошие. И вряд ли вы найдете более толковое применение вашему компьютеру.

Поговорим о чепухе

Мы для того и размежевались, чтобы услышать от первой команды, что все последующие размышления - бред и чепуха. Почему же фракталы так красивы? Даже материалисты-циники, с усмешкой отбрасывающие многочисленные брошюры, выводящие наличие Бога из красоты окружающего мира, просто в недоумении. "Когда передо мной прекрасный часовой механизм, я невольно думаю об авторе, сотворившем его", - восклицал Бенедикт Спиноза. Размышления и восторги по поводу красоты фракталов, может, и не приведут нас в Церковь (наверное, этого недостаточно), но оставят в изумлении. Ведь если красота горных вершин, звездного неба или морского прибоя ожидаема, привычна (а как же иначе?), то откуда же берется красота возводимых в квадрат комплексных чисел? Математика вся пронизана красотой и гармонией, но одно дело математика предметная, с реальными вычислениями и измерениями, и совсем другое - комплексные числа. В этом отношении они сродни шахматам - придуманным правилам жизни некоторых объектов.

Непременно перечитайте "Солярис". И не только описание оживающих, вышедших из подсознания существ, перед которыми мы виноваты, но и описание Океана. "Относительно гладкую "шапку" полюса окружает пространство, продырявленное, как решето, отверстиями внутренних камер и тоннелей... Скорее, это охватывающая несколько кубических километров модель целой математической системы, причем модель четырехмерная... Перед нами какая-то "математическая машина" живого океана, созданная в соответствующих масштабах модель расчетов, необходимых ему для неизвестных нам целей". Напомню, что Станислав Лем писал "Солярис" в 1959-60 годах, когда не только о фракталах никто не слышал, но и "математические машины" делали самые первые шажочки. А Океан "уже" создавал гигантские "фрактальные" математические машины для неведомых нам своих океанских вычислений. Это и есть реализация "делокализованного Операционного Принципа", идущего, по мнению Юрия Романова ("Начало математической философии?"), на смену нынешнему дискретно-цифровому.

Негромкий крик души

Компьютер перестал использоваться для написания программ. На нем играют, считают, рисуют, пишут музыку, беспрерывно набирают тексты. Один знакомый, недавно купивший компьютер, спросил меня, зачем нужны языки программирования, разве не все программы написаны? Разве не все слова сказаны? Ведь каждый тестик на Бейсике умножает знания всего человечества. Если вам наплевать на человечество, вспомните, что писать программу просто приятно. У меня всегда, начиная с ЕС, СМ и "Спектрума", что-нибудь крутилось, ползало по экрану, рождалось, хрюкало и расцветало. Короче говоря, предлагаю всем имеющим доступ к ПК (первая команда отдыхает) не заниматься ерундой, а писать программы, и лучшей темы, чем фракталы, не найти.

Занудам, которым необходима материальная отдача, придется представить, что здесь кроется разгадка возникновения жизни, понимание устройства мозговых извилин и прочих таинственных вещей.

Не терпится поделиться двумя личными достижениями в этом направлении. Во-первых, Turbo Pascal рисует только шестнадцатью цветами, и для получения полноценной палитры я использовал пакет (ни за что не догадаетесь) Visual FoxPro 6.0, предназначенный для работы с базами данных и не имеющий графики. Почему именно FoxPro? Потому что я в нем "сижу" постоянно на работе, привык к нему и даже люблю его. Точки вплотную выводятся на экран в цикле с цветом, RGB-составляющие которого зависят от значения итерационного расчета возведения в степень комплексного числа, полученного из текущих координат точки. Красный цвет, например, может зависеть от реальной составляющей полученного числа, зеленый - от мнимой составляющей, а синий - от самого замысловатого их сочетания. Но не буду лишать вас чудесных минут поиска красивых организмов.

Во-вторых, использование формулы Муавра позволяет возводить комплексное число в любую дробную и даже отрицательную степень. Незначительные хлопоты с капризным арктангенсом и обходом деления на ноль тысячекратно компенсируются невиданной красотой появляющихся организмов.