Всплеск революций

Середина 80-х годов уходящего столетия была богата революционными событиями в самых различных сферах человеческой деятельности. Но нас прежде всего интересуют фундаментальные естественнонаучные открытия, приведшие к новым парадигмам в физике, химии, математике и других областях.

Так, в 1984 году при очень быстром охлаждении некоторых сплавов было обнаружено новое состояние вещества - квазикристаллы. Это открытие оказалось настолько неожиданным, что пришлось пересмотреть само формальное определение кристалла. В общем смысле, кристаллом называется теперь такое тело, для которого дифракционная картина, образующаяся в результате облучения этого тела пучком каких-либо лучей одной длины волны, содержит острые пики (яркие дискретные точки). Другими словами, необходимо, чтобы существовал дальний порядок в расположении атомов, приводящий к интерференции отраженных плоских волн. Физикам было удивительно, что такая интерференция не требует трансляционной инвариантности (периодичности) решетки, характеризующей кристаллы (в том числе и жидкие кристаллы) в старом понимании этого термина. И все-таки удобно называть кристаллами только периодические структуры, когда тело построено из повторяющихся ячеек атомов, а все остальные - квазикристаллами.

В том же 1984 году была построена основополагающая теория широкого класса самоподобных систем - двумерная конформная теория поля, а также произошла "первая суперструнная революция" в теории великого объединения. К первым гребням всплеска событий середины 80-х относятся и квантовый (целочисленный и дробный) эффект Холла, давший новый стандарт для определения электромагнитной константы взаимодействия, признание концепции фрактальности и мультифрактальности мира "по Мандельброту" и многое другое.

В 1985 году была открыта новая форма углерода, получившая название фуллерен в честь американского архитектора Ричарда Бакминстера Фуллера. В это трудно поверить, но тот факт, что помимо известных всем графита и алмаза существует еще одна стабильная молекулярная форма основного элемента органического мира, действительно был установлен всего около десяти лет назад! Очевидно, что сама формула этого соединения С60, в которой число 60 определяет количество атомов в молекуле, имеющей форму футбольного мяча, оказалась неожиданной для экспериментаторов. Хотя в микроскопическом количестве это вещество присутствует даже в саже, его открыли случайно, при экспериментальной проверке в лабораторных условиях одной астрофизической гипотезы. Специальных экспериментов по поиску именно этого соединения не проводилось, так как на теоретические предсказания стабильности такой системы, существовавшие ранее, должного внимания не обратили. Более того, в фуллерены поверили только через пять лет - после синтеза их кристаллической формы, фуллерита. Нобелевская премия за первоначальное открытие была присуждена только в прошлом году.

Примерно в то же время были написаны основополагающие работы Д. Детча и Р. Фейнмана по квантовым компьютерам, на основе которых П. Шор придумал в 1993 году полиномиальный по времени алгоритм факторизации целых чисел.

В 1986 году была открыта высокотемпературная сверхпроводимость, когда поиск веществ с такими свойствами скептики уже начали иронично сравнивать с постройкой вечного двигателя. Полная теория этого явления не создана до сих пор (слишком сложны вещества, обладающие высокотемпературной сверхпроводимостью), и эта проблема является одной из основных в современной физике твердого тела. Например, высокотемпературными сверхпроводниками оказались и подоспевшие фуллерены, содержащие атомы некоторых элементов внутри "футбольного мяча".

А причем здесь всплески - основная тема данной статьи? Ну, конечно же, качественный скачок в развитии их теории, приведший к революции в теории и практике обработки сигналов, тоже пришелся на середину 80-х годов! Но это уже математика, точнее, смесь чистой математики, инженерных разработок, геофизики и квантовой механики.

Вейвлеты, всплески или волнолеты?

Английский термин "wavelet" соответствует французскому "ondelette" и означает маленькую волну. В русскоязычной литературе нет устоявшегося общепринятого аналога этого термина, а простейшие переводы, такие как "волнушка" или "волночка", звучат совершенно ненаучно. Поэтому, благодаря современным тенденциям использования прямой транскрипции и транслитерации английских слов, можно встретить как "вейвлет", так и "вэйвлет". Однако оба эти слова труднопроизносимы, и автор отрицательно относится к их использованию в русском языке. В прошлом веке говорили бы что-то вроде "онделетт" - ввиду превалирования французского языка. Это звучит лучше, и в знак признательности франкоязычным ученым, внесшим основной вклад в современную теорию этих объектов, было бы адекватно говорить "онделетт" на всех языках. В русской математической литературе такой перевод тоже использовался, но наиболее популярным является термин "всплеск", предложенный К. Осколковым. Произнести четыре согласные подряд тоже непросто, но это уже "родные" трудности.

У автора есть свой этимологический аналог этого слова. Необходимо перевести корневое слово "волна" (присутствующее как в английском, так и во французском терминах) и добавить характерное общее уменьшительное окончание "лет", чтобы получить очень легко произносимое "волнолет". Неожиданно русский язык приходит на помощь, так как, заменяя это искусственное образование на архаично звучащее, но исконно русское "волнолет", мы вплотную приближаемся к сути взятого объекта: wavelets во многом и есть летающие всплески волн. Это слово ближе по духу ряду экзотических научных имен, введенных русскими исследователями ("пангеометрия" Лобачевского, "грозоотметчик" Попова, "эка-бор" Менделеева и др.), однако в этой статье в основном будет использоваться термин "всплеск". Этот перевод весьма удачен ввиду его краткости, хотя и не отражает полностью характер движения волн.

Немного истории, или Нет пророка в своем отечестве

Первые всплески были построены Хааром в 1909 году. Для ряда приложений их вполне достаточно. Математическая система аксиом, скрытая за этой конструкцией, называется в настоящее время кратно-разрешающим (или кратно-масштабным) анализом. В явном виде она была сформулирована осенью 1986 года С. Малла и И. Мейером. С ее помощью в 1987 году И. Добеши построила бесконечную серию всплесков, обладающих основным свойством системы Хаара - компактным носителем, и вдобавок определяющихся более гладкими функциями. Аналогичные функции появились и в схеме фрактальной интерполяции дискретно заданных сигналов, предложенной С. Дюбуком в 1986 году и подробно изучавшейся им позднее совместно с Ж. Деслорье.

В формулировке самих аксиом кратно-разрешающего анализа принципиально важную роль сыграли наблюдения С. Малла о связи всплесков с квадратурными зеркальными фильтрами, разрабатывавшимися для цифровых телефонов около 1983 года, и пирамидальными схемами, использовавшимися для обработки изображений примерно в это же время, то есть с сугубо практическими инженерно-математическими разработками. Необходимо указать также на теорию Д. Марра начала 80-х о механизмах первичной обработки зрительной информации, нашедшую применение в роботехнике.

Упомянем некоторые старые достижения в теории сигналов. Точное восстановление функций, чей Фурье-образ имеет компактный носитель, по значениям функции при целочисленных значениях аргумента дает теорема Котельникова-Шеннона. В 1946 году Габор предложил обобщение метода Фурье, промежуточное между стандартным Фурье и всплеск-анализами, которое нашло широкое практическое применение. В нем используются тригонометрические функции, локализованные с помощью некоторой подвижной функции "окна", равной нулю вне определенного интервала.

Эти и другие разрозненные результаты в разных областях были получены между 1909 и началом 80-х годов. Лавинообразный рост интереса, конвергенция известных и всплеск новых результатов был в значительной степени инициирован публикацией около 1984 года статей, написанных Ж. Морле и присоединившимся позднее А. Гроссманом, по приложению непрерывного всплеск-анализа к проблемам геофизики. При этом выяснилась также прямая связь с квантовой механикой через теорию когерентных состояний. При попытке доказать аналог теоремы Балиана-Лоу для аффинной группы (двухпараметрической группы преобразований x __ax+b) летом 1985 года И. Мейер обнаружил бесконечно дифференцируемую систему всплесков, дающую ортонормированные базисы многих функциональных пространств. Хотя аналогичный базис был построен Стрембергом еще в 1981 году, именно открытие Мейера дало толчок серьезному пересмотру всех математических вопросов в этой области.

Любопытно отметить, что математик Мейер познакомился с работами Гроссмана-Морле в очереди к ксероксу (аппарат был общим для физиков и математиков, и статью копировал физик) и мгновенно определил, что соответствующий формализм известен в теории интегральных операторов Кальдерона. Однако, поняв принципиальную важность новых веяний, он тут же поездом приехал в Марсель и начал совместную работу с Гроссманом (статья Добеши, Гроссмана и Мейера была одной из первых математических работ новой волны). Впоследствии Мейер признавался, что стиль работы физиков, в частности их смелость в выработке рабочих гипотез и попытки решать задачи своими силами, был для него откровением. Математики, по его мнению, слишком боятся ошибиться в своих умозаключениях. Действительно, физики любят публиковать результаты, даже когда их обоснованность не совсем очевидна. Конечно, победителей не судят, но к отрицательным моментам такого подхода относится скоропортящийся характер огромного количества утверждений в физике.

Название этого параграфа применимо ко многим странам, необходимо только подобрать подходящее научное открытие. Исследования, проводившиеся в СССР в областях, близких всплескам, видимо, заслуживают аналогичной оценки. Автор не знаком со всеми важными оригинальными разработками наших математиков и физиков, но работы В. Л. Рвачева и В. А. Рвачева 1971-73 годов имеют прямое отношение к всплескам. А именно: этими учеными был выписан широкий класс дифференциально-функциональных уравнений, обладающих решениями с компактным носителем. В качестве частного предельного случая в него входило и уравнение, определяющее всплески Добеши, которое, однако, детально не изучалось, и, соответственно, кратно-разрешающий анализ не был сформулирован. Тем не менее были даны прямые указания на важность общего подхода для приложений и детально изучены так называемая up-функция и ряд других подобных ей функций.