Мелковолновый анализ

Слово applet знакомо, наверное, каждому. Этого не скажешь о wavelet, другом слове сходной этимологии, хотя с ним непосредственно связаны судьбы, по крайней мере, 30 миллионов граждан США.

Столкнувшись с необходимостью хранить отпечатки пальцев 30 миллионов человек, по 600 килобайт на каждый палец или 6 мегабайт на запись, ФБР должно было потратить 200 миллионов долларов только на хранение информации. Сотрудники Лос-Аламосской лаборатории предложили использовать для сжатия отпечатков вэйвлет-преобразование, что позволило ФБР значительно уменьшить объем хранимых данных и, соответственно, снизить расходы.

А вот другой пример: в США сконструирован самоходный робот, предназначенный для сборки созревших перчиков "чили". Встроенная в него система распознавания образов, использующая вэйвлет-преобразование (судя по всему, как препроцессор) и нейронные сети, позволяет безошибочно находить красные плоды, выделяя их среди зеленых побегов и перцев.

Вэйвлет-анализ разработан для решения задач, оказавшихся "не по зубам" традиционному анализу Фурье, и находит все более широкое применение в исследовании и прогнозе временных рядов, будь это Интернет-трафик или биржевые котировки, обработке данных дистанционного зондирования, сжатии изображений и мультимедиа-информации, распознавании образов и речи, задачах связи, теоретической физике и математике.

Вэйвлет (wavelet) - дословно значит "маленькая волна". Не так уж трудно рассказать в двух словах, что такое вэйвлет-анализ, - правда, безо всякой математической строгости. Всем известно, что любой сигнал можно разложить в сумму гармоник (синусоид) разной частоты. Но синусоидальные волны бесконечны, и не очень-то отслеживают изменения сигнала во времени. Чтобы уловить эти изменения, вместо бесконечных волн можно взять короткие "всплески" - совершенно одинаковые, но разнесенные по времени. Оказывается, этого недостаточно: надо добавить еще их всевозможные растянутые и сжатые копии. Вот теперь сигнал можно разложить в сумму таких всплесков разного размера и местоположения. Это и есть вэйвлет-анализ.

Коэффициенты разложения - важная информация об эволюции сигнала. Они зависят от выбора изначального всплеска. Для каждой прикладной задачи можно подобрать наиболее приспособленный (именно для нее) всплеск. Он как раз и называется вэйвлетом. В России этот термин принят в основном у прикладников, калькирующих в последнее время все английские термины без разбора. Математики и физики, говорящие по-русски, иногда предпочитают называть вэйвлет всплеском.

Математическая сторона вэйвлет-анализа - вещь довольно тонкая, хотя и весьма наглядная. Вообще, реально работающие в приложениях математические методы всегда (почему-то) опираются на красивую чистую математику - это экспериментальный факт. А вот прикладная сторона вэйвлетов проста до того, что дальше некуда. Вэйвлет-преобразование не только работает быстрее, чем преобразование Фурье, - для него несравненно проще написать программу.

Таким образом, во второй половине восьмидесятых ученые и инженеры неожиданно получили возможность без особых усилий взглянуть на предмет своих исследований совершенно по-новому. Очень кстати оказались появившиеся в то время PC, само появление которых сыграло значительную роль в создании Гроссманом и Мейером аппарата вэйвлет-анализа.

Вскоре возникла мода на вэйвлеты, и сразу же замаячил туманный призрак каких-то огромных денег. Гилберт Стрэнг, профессор Массачуссетского технологического института, очень активный популяризатор вэйвлетной науки и практики, пишет, что один из его дипломников категорически отказался показывать ему уравнение построенного в дипломной работе вэйвлета - он надеялся выиграть конкурс на лучший метод сжатия данных для телевидения высокой четкости. Семь коэффициентов - миллиарды долларов… Насколько нам известно, эти призрачные деньги пока не материализовались, во всяком случае, в районе вэйвлетов.

Зато известен другой, несколько неожиданный факт. Один из нас два года назад имел счастье познакомиться с замечательным ученым, отцом вэйвлет-анализа Александром Гроссманом. Тот рассказал, что именно в те дни, когда они с Жаном Морле (автором самого термина "вэйвлет") писали первую, в сущности, работу по этой науке, Морле получил письмо из крупной нефтяной компании, где он в то время работал. В нем сообщалось, что согласно правилам компании он уволен, как достигший пятидесятилетнего возраста. Свой знаменитый "вэйвлет Морле" он придумал и применил как раз в связи с задачами нефтеразведки…

Создатели вэйвлетной науки предложили две основные метафоры, уподобив вэйвлет-анализ "математическому микроскопу", а разложение сигнала по разномасштабным вэйвлетам - нотной записи музыки. Причем последнее сравнение можно понимать почти буквально. Удивительно, что вся эта наука не была придумана лет сто назад…

Об истории исследований вэйвлетов в мире и России расскажут статья Вячеслава Спиридонова (вернее, первая ее часть) и краткая заметка Ю. А. Фаркова. В статье Л. И. Левковича-Маслюка делается попытка представить основные идеи построения и применения вэйвлетов с помощью картинок и практически без математики. Те же, кто предпочитает более строгий математический язык (весьма уместный здесь), могут обратиться ко второй части статьи В. П. Спиридонова. Три статьи посвящены приложениям. Весьма ценно, что их авторы рассказывают, главным образом, о своих собственных, причем очень интересных, исследованиях. П. Г. Фрик и Д. Д. Соколов написали о применении вэйвлетов в нескольких важнейших задачах геофизики и астрофизики, А. Переберин - о вэйвлетах в компьютерной графике. Статья для этого номера журнала прислана из Лондона: Т. Ламброу, А. Линней и Р. Спеллер из университетского лондонского Колледжа дают краткий обзор применения вэйвлетов в медицине.

В 1997 году два самых, наверно, знаменитых немецких математика, Мюллер и Хирцебрух, написали статью о развитии математики за последние десять лет. За это время, по их мнению, произошло два важнейших события - доказательство великой теоремы Ферма и появление вэйвлет-анализа. Оба автора - чистейшие теоретики, тем более замечательна такая их оценка вэйвлет-анализа. Ведь его роль в самой математике пока что не слишком велика. Однако не было в последние годы другой математической концепции, которая бы так стремительно проникла во все естественные науки, многие области техники, экономику и финансы…