Новогодний сюрприз от "Сатирикона"

Не могу не порадоваться тому, что даже коллеги из очень несерьезных юмористических изданий время от времени обращают свое внимание на математические задачки. А тут еще и повод хороший - Новый год. Давайте порадуемся вместе! Итак, открываем "Сатирикон" #4 на первой же странице и читаем "колонку главной редакторши" (для тех, кто не в курсе, - это Майя Остер): "А, кстати, знаете ли вы, что если сложить цифры, из которых состоит этот год, то сумма цифр того, что получится, будет равна девяти? 1+9+9+8=27, а 2+7=9. Более того, если от числа 1998 отнять сумму цифр этого числа, сложить сумму цифр того, что получилось, и отнять от числа, сумму цифр которого мы складывали, то получится опять девятка".

С трудом продравшись сквозь это тяжеловесное описание, я все же понял, что предполагалось проделать следующие действия: 1998-(1+9+9+8)=1971, 1+9+7+1=18, у получившегося числа снова найти сумму цифр 1+8=9 и наконец в результате вычитания получить девятку: 18-9=9.

Но я отвлекся, а между тем самое интересное еще впереди. "Мало того, если взять любой год, следующий за 1998-м, и проделать то же самое, то в конце концов в результате опять выйдет девятка. И так все время. Ну, например: 1999 год. 1+9+9+9=28; 2+8=10; 28-10=18. А 1+8=9".

Стоп-стоп. Я вроде все внимательно читал и при этом не брал в рот ни капли спиртного! В описанных раньше действиях нигде не указывалось, что нужно складывать цифры 1 и 8. Последним действием было вычитание. Ладно, попробуем посмотреть на следующие примеры: "2000 год. 2+0+0+0=2; 2000-2=1998. И опять в конце 9".

Я уже не верю автору на слово (простите меня, Майя!) и тупо начинаю перепроверять последнее утверждение: 1+9+9+8=27, снова считаем сумму цифр, то есть 2+7=9, затем вычитаем и получаем 27-9=18. Ладно, 18 получается не впервой: видимо, нужно еще раз найти сумму цифр и получить 9.

"Или, возьмем 2322 год. 2+3+2+2=9; 2322-9=2313; 2+3+1+3=9. Или 2412 год. 2+4+1+2=9; 2412-9=2403; 2+4+0+3=9. Так теперь будет продолжаться несколько тысячелетий. Можете сами проверить".

В этом месте я полностью перестаю что-либо понимать, потому что в обоих этих примерах действия не доведены до конца: надо ж было еще раз находить сумму цифр, потом вычитать и только тогда получить 9. А если здесь все проделать по прежнему алгоритму, то будет 9-9=0.

"Если вдруг обнаружите в предстоящем нам с вами будущем год, не подпадающий под это правило, сообщите нам и немедленно получите сумму, равную числу обнаруженного года. В любой, выбранной вами, валюте". Обожаю всяческие выигрыши, особенно в валюте! Только вот с правилом неувязочка. Правило-то здесь было не одно, а целых три.

Правило 1, описанное словесно и проверенное на 1998:

Пусть N - номер года, а M - сумма цифр числа N. Вычислим X=N-M, затем найдем Y - сумму цифр числа X, затем Z - сумму цифр Y. Тогда Y-Z=9.

Правило 2, примененное к 1999 и 2000:

Будем делать все так же, как и в правиле 1, но если получилось, что Y-Z не равно 9, то не поленимся и найдем его сумму цифр - она уж точно равна девяти.

Правило 3, подкрепленное годами 2322 и 2412:

А если вдруг оказалось, что Y=9, то остановимся и вычислять Z вообще не будем. Как уже ясно, правило 1 работает не всегда, иногда его приходится корректировать. Если Y получается больше 18, то нужно применять второе правило. А иногда, наоборот, Y оказывается равным 9, и тогда, чтобы не получать в результате ноль, Майя Остер рекомендует применять правило 3.

А теперь насчет обещанной суммы. В недалеком будущем (по астрономическим меркам) нас ждет год 1000000000000. Если от этого числа отнять его сумму цифр, получим число из двенадцати девяток: 999999999999. Это есть число X, согласно нашим обозначениям. Тогда Y=9*12=108, Z=9, а Y-Z=99. Последний шаг: 9+9=18, а вовсе не 9.

Давайте все вместе срочно потребуем от "Сатирикона" выплаты указанной суммы. Хотя бы в рублях, пусть даже и в старых, не прошедших деноминацию! И главное: давайте на вырученные деньги подпишемся на "Сатирикон". Замечательный журнал!

* * *

А вот другой, тоже вполне новогодний сюжет.

Снегопад начался еще до наступления Нового года и продолжался, не усиливаясь и не ослабевая, всю новогоднюю ночь. Ровно в полночь на улицы города вышли несколько бригад дорожных рабочих. За первые 3 часа им удалось очистить от снега треть города, а к семи утра уже половина города была очищена от снега. Известно, что за равные промежутки времени убирались равные объемы снега. В котором часу начался снегопад?

Я приведу здесь два решения этой задачи: одно будет алгебраическим, а другое использует математический анализ - интегрирование. При этом ответы получаются различными. Предлагаю читателям подумать и найти ошибку.

Решение 1. Пусть b - толщина снежного покрова в полночь (в сантиметрах), k - скорость образования снежного покрова (в см/час). Если найти соотношение между b и k, можно легко определить время начала снегопада. В 3 часа ночи толщина снега (если его не убирать) была бы b+3k, а в 7 утра - b+7k. По условию, к трем ночи была очищена треть города, то есть проделана работа, пропорциональная (b+3k)/3. Аналогично, к семи утра было уже убрано (b+7k)/2. А так как скорость уборки оставалась постоянной, то получаем такое уравнение: (b+3k)/3*3=(b+7k)/2*7 Из него находим 5b=21k, то есть b=4,2k. Это означает, что к полуночи снегопад шел 4,2 часа, то есть 4 часа 12 минут. А начался он, следовательно, в 19:48.

Решение 2. Скорость уборки снега в момент T обратно пропорциональна толщине снежного покрова в этот момент, то есть прямо пропорциональна величине 1/(b+kT). Объем убранного снега равен интегралу от скорости уборки. Иначе говоря, он равен ln(b+kT)-ln(b) = ln(1+ kT/b) Обозначим площадь улиц города через S. Тогда для T=3 получаем, что ln(1+3k/b)=S/3, а для T=7 - что ln(1+7k/b)=S/2. Пусть теперь x=k/b. Решим соответствующую систему уравнений. Выразив S из обоих уравнений, исключим его: S=3ln(1+3x)=2ln(1+7x). (1+3x)3=(1+7x)2. Единственным положительным корнем этого уравнения является x=1, поэтому снегопад шел ровно один час до начала уборки, а начался в 23:00.

Итак, где ошибка?

Поздравляю всех читателей с Новым годом. Пишите мне, как и в прошлом году, по адресу kk@knop.spb.ru.