Архивы: по дате | по разделам | по авторам

Математика и Реальность

Архив
автор : Сергей Крылов   15.07.2002

Мы живем в мире, наполненном реальными, то есть "физически" существующими явлениями и предметами. Многие из них мы можем видеть и ощущать - голубизну неба, форму и запах цветка, блеск и жесткость алмаза, летящий самолет и т. д.

- Я вам говорю - никто никого не слопает. Эти зверюги отлично поладят…
Семен Левински. «Зоопарк»

Мы живем в мире, наполненном реальными, то есть «физически» существующими явлениями и предметами (объектами). Многие из них мы можем видеть и ощущать - голубизну неба, форму и запах цветка, блеск и жесткость алмаза, летящий самолет и т. д. Другие явления и объекты недоступны нашему непосредственному восприятию - например, электромагнитная волна, лежащая вне диапазона световых и инфракрасных волн, или электрон, блуждающий в лабиринтах компьютерного чипа. Однако мы знаем, что они существуют. Это знание многократно проверено научными экспериментами и практикой, оно работает в миллионах созданных нами устройств самого различного назначения. Почему это возможно? Почему окружающая нас ощущаемая и даже неощущаемая реальность может быть понятна настолько, что мы оказываемся в состоянии использовать ее в своих интересах? Что является той основой, тем самым холстом, на котором мы пишем картину общего, целостного знания об окружающем мире? Пишем порой так точно, что можем рассчитать, вычислить, предсказать работу создаваемых нами машин и механизмов.

Когда-то предполагалось, что роль такого холста должна сыграть философия. Именно в ее рамках поколения философов пытались создать всеобщую, универсальную науку. Однако постепенно прочнейшей тканью, объединяющей все точные и не совсем точные науки, стала математика - фактически ровесница и в определенном смысле - дитя философии. Стала по очень простой причине: фундамент математики и ее принципы оказались настолько всеобщими и прочными, что они, будучи обоснованно примененными, прекрасно работают везде - при строительстве зданий, подсчете площадей и расстояний, расчетах самых разных машин, химических и физических процессов, оценке состояния обществ и экономик. В рамках математики можно изобретать новые математические конструкции и уже потом исследовать, какие реальные процессы или явления им соответствуют. Довольно часто математическим изобретениям действительно удается найти их физические аналоги, уже воплощенные природой в своих структурах. Можно, конечно, делать и наоборот - конструировать математические описания для вновь открываемых физических, биологических, социальных и прочих закономерностей и эффектов.

Но как ни удивительно, математика до сих пор не может ответить на кажущийся простым вопрос о самой себе: почему она столь универсальна, столь всеобъемлюща? Причем ответ на него математики и их коллеги философы ищут примерно столько же, сколько лет (точнее - тысячелетий) самой математике. Факт этого поразительного универсализма так заворожил некоторых исследователей, что они стали абсолютизировать математику, перенеся на ее почву эксперименты по созданию всеобщей универсальной науки. Увы, результаты оказались настолько выхолощенными, настолько абстрактными, неконкретными, лишенными какого бы то ни было реального физического смысла, что ими интересуются, как правило, лишь сами экспериментаторы и узкие группы специалистов.

Мечты о всеобщей науке снова рассеялись как дым.

Возникает естественный вопрос - почему? Почему математика, прекрасно зарекомендовавшая себя во многих прикладных областях и прежде всего - в числовом описании физической картины мира оказалась мало пригодной для построения его общего описания?

Математика плохо представляет «единую» реальность именно потому, что отображает все ее законы и структуры на числа или их аналоги - цепочки символов. А числа или цепочки символов - объекты информационные, а не физические. При любых математических преобразованиях чисел никаких новых физических свойств, естественно, появиться не может. Тогда как физические объекты при своих физических преобразованиях очень часто «генерируют», или «порождают», новые физические свойства, отсутствовавшие у их «родителей». Одним из первых обратил самое пристальное внимание на это фундаментальное различие математических и физических структур венгерский ученый, специалист по философии и истории науки Георгий Кампис. Он даже ввел для такого рода объектов специальное название - компонент системы (component-system).

Впрочем, оказалось, что к аналогичным выводам можно прийти и со стороны самой математики. Точнее - со стороны той ее ветви, которую принято называть теорией алгоритмов. Если, сохранив математическую строгость, максимально расширить понятие объектов алгоритмических операций, включив в них не только информационные (числа и цепочки символов), но и вообще любые реальные или даже воображаемые объекты, то мы сможем на основе математических методов анализировать, изучать, исследовать различные типы операций, преобразований и процессов над самыми различными объектами - информационной, физической или любой другой, в том числе воображаемой природы. И если Георгий Кампис на многочисленных примерах лишь констатировал неравенство математических и физических преобразований, то в рамках нового подхода его можно самым тщательным образом изучать.

Соответствующее научное направление, возникшее на основе теории алгоритмов, получило название формальной технологии (ФТ) - по вполне понятным причинам: ФТ оперирует с любыми - реальными или воображаемыми (абстрактными) объектами формальным образом - то есть в соответствии со строгими формальными правилами, базирующимися на мощном математическом фундаменте. Однако если математика работает в первую очередь с числовыми или кодовыми представлениями объектов, то ФТ - с любыми их представлениями - числовыми, геометрическими, модельными, физическими и т. д.

Очень быстро выяснилось, что такое - «технологическое» - представление объектов и процессов нашего мира более естественно, нежели чисто математическое. Ведь мы живем не среди математических конструкций, а среди технологических, реализуемых либо природой, либо нами самими.

Окружающий нас физический мир, прежде всего, технологичен. Это очень важный тезис! Доказательство тому - наша способность создавать в нем что-либо - орудия труда и жилища, технологии возделывания земли и выращивания домашних животных, конструирования машин, транспортных и информационных систем и т. д. и т. п. Причем эта способность свойственна не только людям - звери, птицы, рыбы тоже умеют использовать технологические возможности окружающего мира.

Не удивительно, что первые же исследования в рамках ФТ показали ее тесную связь с философией. Более того, оказалось возможным доказывать некоторые общефилософские положения строгими математическими методами. Например, удалось подтвердить важную роль формы объектов в двух- и трехмерных мирах. Именно форма несет львиную долю информации о внутреннем устройстве простых конструкций, об их структуре. Но самое главное, это свойство - «иметь ту или иную форму», - будучи одним из простейших свойств двух- и трехмерных объектов, оказалось очень важным для формирования принципиально новых (эмерджентных) физических свойств, не встречающихся у исходных компонентов этих объектов! При этом могут формироваться не только статические эмерджентные свойства, которые никак себя не проявляют с точки зрения взаимодействия с окружающими объектами, но и так называемые функциональные эмерджентные свойства, определяющие принципиально новые, отсутствовавшие у «родителей» формы взаимодействия объектов между собой, - то есть новые формы их взаимного поведения, их новые функции - в полном соответствии с положениями Георгия Камписа.

Разумеется, для образования эмерджентных функциональных свойств одного лишь свойства «иметь ту или иную форму» недостаточно - необходимо снабдить исходные объекты-компоненты конструкций некоторым дополнительным набором тех или иных физических свойств, который можно по своему усмотрению менять - как изначально и предусматривалось формально-технологическим подходом. Именно на этом пути удалось построить простейшие модели так называемых квазиатомов - элементарных образований, поведение которых очень похоже на настоящие атомы. Например, они могут в ходе процесса, который по аналогии с нашим миром удобно назвать охлаждением, формировать кристаллоподобные структуры (рис. 1) или образовывать квазимолекулы, взаимодействующие между собой с присоединением или отщеплением отдельных квазиатомов (рис. 2). Особенно интересно в этих моделях то, что мы можем детально отслеживать влияние того или иного «физического» свойства (имеющего или не имеющего аналогов в природе) на поведение системы квазиатомов в целом.


В концепции формальной технологии можно построить несколько моделей квазиатомов разного уровня сложности. Все они легко реализуются в любом объектно-ориентированном языке программирования. Одна из простейших моделей содержит в списке свойств следующие строки:

  • «иметь шарообразную форму»,
  • «быть инерционным объектом»,
  • «быть упругим объектом»,
  • «иметь положительный, отрицательный или нейтральный электрический заряд»,
  • «иметь определенный цвет» (это необязательное свойство, нужное лишь для удобства графического отображения результатов компьютерных экспериментов). Такие квазиатомы уже проявляют структурообразующее поведение типа кристаллизации, представленной на рис. 1. В более сложных моделях в список могут добавляться свойства: «иметь определенную валентность», то есть «иметь возможность обмениваться с соседними квазиатомами спаренными отрицательными электрическими зарядами в соответствии со своей валентностью» (электронов в квазиатомах нет, их функция в формировании валентных связей частично имитируется временной передачей пар отрицательных зарядов от одного атома к другому); «иметь внутренние состояния, аналогичные состояниям ячеек клеточных автоматов фон Неймана» и др. Такие квазиатомы уже способны к более сложному поведению (рис. 2).

Наиболее удобной для представления любой технологии в формальном виде оказалась структура, очень близкая к структуре алгебраической системы в математике. Это и понятно: раз ФТ является своеобразным расширением самой математики, то, естественно, фундаментальные математические конструкции должны сохранять свою значимость и в рамках новой концепции. Согласно ей любая конкретная ФТ может быть задана с помощью двух множеств - множества исходных (базовых) объектов операций («элементов базы») и множества самих операций над этими объектами, причем для саморазвивающихся технологических систем последнее множество может быть пустым.

В заключение - краткая историческая справка. Впервые внимание на то, что объектами алгоритмических операций могут быть не только числа, но и совершенно иные по своей природе объекты, обратила внимание Августа Ада Лавлейс - дочь известного английского поэта лорда Байрона и первая в мире программистка, написавшая несколько программ для спроектированной в XVIII веке Чарльзом Бэббиджем, но так и не достроенной им первой универсальной программируемой цифровой механической вычислительной машины. А то, что существующая математика - всего лишь часть некоторой более общей, более «фундаментальной» математики, впервые отметил Александр Богданов - русский революционер и философ, которого В. И. Ленин очень выразительно критиковал именно за его философские взгляды. Несмотря на это, Богданову удалось опубликовать книгу (1924 г.) о своей науке, которую он назвал тектологией (это слово сходно со словом «технология» не только по звучанию, но и по смыслу). В 80-е годы XX века «Тектология» Богданова дважды переиздавалась в США, а затем - снова в России.


ИСТОЧНИКИ

  1. Клайн М. Математика. Поиск истины. Пер. с англ./ Под ред. и с предисл. В.И.Аршинова, Ю.В.Сачкова. М.: Мир, 1988.
  2. Вигнер Ю. Непостижимая эффективность математики в естественных науках. В кн.: Вигнер Ю. Этюды о симметрии. М.: Мир, 1971. С. 182-198
  3. Turchin V. The Phenomenon of Science. A cybernetic approach to human evolution. New York: Columbia University Press, 1977.
  4. Kampis G. Self-Modifying Systems in Biology and Cognitive Science. Oxford, Pergamon, 1991.
  5. Витгенштейн Л. Философские работы. Замечания по основаниям математики. Пер.с нем. М.: Генезис, 1994, ч.2., кн.1.-214с.
  6. Крылов С.М. Формальная технология в философии, технике, биоэволюции и социологии. - Самара: СамГТУ, 1997.
  7. Крылов С.М. Формальная технология и универсальные системы.// Кибернетика, 1986, № 4, С.85-89 (Часть 1), 1986, №5, С.28-31 (Часть 2).
  8. Крылов С.М. Модели универсальных дискретно-аналоговых машин на основе машины Тьюринга.// Электронное моделирование, № 3, 1982, С.6-10.
  9. Крылов С.М. Формальная технология и математика: связь с философией и реальными технологиями. В кн.: Язык науки XXI века (материалы научн.конф...). - Уфа: БГУ, 1998. С.156-157.
  10. Богданов А.А. Тектология: Всеобщая организационная наука. В 2-х кн. М.: Экономика, 1989.
© ООО "Компьютерра-Онлайн", 1997-2018
При цитировании и использовании любых материалов ссылка на "Компьютерру" обязательна.